2023年广西中考数学专题复习：二次函数与等腰三角形存在性问题

2023年广西中考数学专题复习： 二次函数与等腰三角形存在性问题 解题方法: 1. 两圆一中垂 1. 距离公式法 例题 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点D从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．请解答下列问题： (1)求二次函数关系式； (2)在D，E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)当t为何值时，是等腰三角形？请直接写出t的值． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点H，与线段交于点M，连接PC．当是以为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 3．如图，二次函数的图像经过点，与轴正半轴交于点，连接，．的顶点，在轴上，，，点．将沿轴向右平移，平移距离为． (1)求二次函数的表达式； (2)向右移动过程中，是否存在点使得是等腰三角形，若存在，请求出的值．若不存在请说明理由； (3)①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 4．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)若点在抛物线对称轴上，且在轴上方，当为等腰三角形时，求出所有符合条件的点的坐标． 5．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)在二次函数的对称轴上是存在点K，使为等腰三角形，若存在，请求出K点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，作交于M，设点P的横坐标为t，求的最大值． 6．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点和． (1)求该二次函数的解析式和它与轴的另一个交点的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)点是二次函数的对称轴上一点，连接，找出轴上所有点，使得是等腰三角形，并直接写出所有点的坐标． 7．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．点（）是上一动点，过点D作x轴的垂线与二次函数的图像交于点P，与直线交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，连接，作轴于点H，与交于点M，连接．当是以为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 二、填空题 9．已知二次函数的图象与交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，是以为底的等腰三角形，那么的值为______． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为4 (3)或或2 【分析】（1）将，代入得，，计算求解的值，进而可得二次函数解析式； （2）由题意知，，，，，则，如图1，过作于，则，，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意知，，，，若是等腰三角形，分，，，三种情况求解；①当时，则，计算求出满足要求的解即可；②当时，如图1，由题意知，，，则，即，计算求出满足要求的解即可；③当时，，即，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：将，代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意知，，，，， ∴， 如图1，过作于， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）解：由题意知，，，， 若是等腰三角形，分，，，三种情况求解； ①当时， ， 解得，， ∴当时，是等腰三角形； ②当时，如图1， 由题意知，，， ∴， ∴， 解得，（舍去）或， ∴时，是等腰三角形； ③当时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，解得， ∴时，是等腰三角形； 综上所述，当的值为或或2时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，勾股定理，正弦，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．(1) (2)或． 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）先求出直线的解析式为，设，则，根据等腰三角形的定义，分时，时，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）将，代入， 得，解得， ∴这个二次函数的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将的坐标代入， 得解得 ∴直线的解析式为． 设， ∴． ①当时， ∵