高频考点专题：球与多面体的接、切问题-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高频考点专题：球与多面体的接、切问题 一.球的有关性质 （1）球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. （2） 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心. （3）解决球的截面问题抓住以下几个方面： (1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2. （4） 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 练习1：如图，已知球O是棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________. 答案　 【解析】　根据题意知，平面ACD1是边长为＝3的正三角形， 且所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径 , 所以平面ACD1截球O的截面面积为. 二、柱体的外接（内切）球 (一)长方体的外接球和正方体的外接(内切)球 1. 方法技巧一：正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点． 结论：球的直径等于球的内接长方体的对角线长. 2.结论：球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形： ①球内切于正方体，此时2R＝a； ②球与正方体的棱相切，此时2R＝a； ③球外接于正方体，此时2R＝a. 3.结论：长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为则外接球的半径是 (二) 正棱柱的外接（内切）球 1. 正棱柱的外接球 方法技巧二：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点． 例1．一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积是_________． 【解析】设正六棱柱 正六边形的周长为3，则边长为，则，矩形经过球心，就是外接球的直径， 外接球的半径，则外接球的体积为 故答案为： 练习2：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为(　　) A.6 B.3 C.3 D.3 【解析】　如图，设三棱柱上、下底面中心分别为O1，O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OA＝R，设AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h， 则OO2＝h，O2A＝×AB＝a. 在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO＋O2A2＝h2＋a2≥2×h×a＝ah， 当且仅当h＝a时，等号成立，所以S球＝4πR2≥4π×ah， 所以ah＝4π，所以ah＝，所以该三棱柱的侧面积为3ah＝3. 2. 正棱柱的内切球 例2：(正三棱柱的内切球)一个正三棱柱恰好有一个内切球（球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切）和一个外接球（球经过三棱柱的6个顶点），则此内切球与外接球表面积之比为（　　） A. 1：3 B. 1：5 C. 1：7 D. 1：9 【解析】：设正三棱柱底面正三角形的边长为2a，其内切球的半径为R 当球外切于正三棱柱时，球的半径R等于正三棱柱的底面正三角形的重心到对边的距离即R=a，到相对棱的距离是a 又正三棱柱的高是其内切球半径的2倍，故正三棱柱的高为a， 球外接正三棱柱时，球心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，顶点在底面上的投影恰好是底面三角形的重心到顶点的距离a，棱锥的高为a 故正三棱锥外接球的半径满足R22=(a)2+(a)2=a2， ∴内切球与外接球表面积之比为4（πR2）：（4πR22）=R2：R22=1：5． 故选B. (三) 直棱柱的外接（内切）球 方法技巧三：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点． 结论：若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为 例3.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 【解析】，，，， 练习3：在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为 ______. 【解析】,， , ， 设球O1的半径为，由题得， 所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为： 例4：如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________． 答案　　6π 【解析】　如图添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF， 可