专题20 向量的矢量积在立体几何中的应用-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 -----向量的矢量积在立体几何中的应用 【专题导航】 在教学空间向量与立体几何时，老师们一般讲解列方程组，设一求二的方法求面的法向量，事实上，用向量的矢量积求法向量较简单，而且易于计算正确，教辅资料未讲.本专题抛砖引玉，采用一题多解的方法呈现，供同仁们教学参考，高三学生备考拓展. 【大学的基础理论】 一、二阶行列式的计算：四个数排成两行两列，就称为一个“二阶行列式”. ，注意的逆向应用. 【应用举例】 1、计算下列行列式的值 （1）；（2） 2、（2010年年上海高考文3）行列式的值是 . 3、（2013年上海高考理3）若，则 4、（2013年上海高考文4）若，，则y = ． 5、函数的值域是 . 6、（2012年上海高考文3）函数的最小正周期是 .   二、三阶行列式的计算：九个数排成三行三列，就称为一个“三阶行列式”. ①按对角线展开. ②按一行（或一列）展开（即代数余子式展开）. = 注意逆向应用： 【应用举例】 1、计算下列行列式的值 （1）；（2） 2、将用三阶行列式表示，可得 ． 三、向量积 （1）向量积，记为×，在数学中又称外积、叉积，在物理中称矢积、叉乘，是一种在 向量空间中向量的 二元运算.向量积与 点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量．如下图： 它的方向由右手螺旋法则确定, 两个向量的叉积与这两个向量所在的平面垂直，即为该平面的一个法向量；它的长度是在二维空间中和张开的平行四边形的面积:|×|=|||||sin<,>|． （2）向量积满足的基本性质如下： 1. ×=； 2.×=-（×）；3.（）×=（×）； 4.（+）×=（×）+（×） 5.拉格朗日公式： × ( × ) = ·（·）− ·（·） （3）向量积的计算公式： 1.定义公式：×=（||||sin<,>）（为单位向量且垂直于和所在的平面） 2.平面向量坐标公式：即向量三阶行列式 设，，为互相垂直的单位向量，则=（1,0,0），=（0,1,0），=（0,0,1） 设 ， ×= 所以×=，特别地若 ，，则×=，|×|= 【矢量积在立体几何中求法向量的应用】 1.如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，,. 证明：平面平面; 当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值. 2. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，对角线与交于点，侧面是边长为2的等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）若侧面底面，求斜线与平面所成角的正弦值. 3. 如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 4．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥AC， PA＝1，AB＝AC＝，D为BC的中点，过点D作DQ平行于AP,且DQ＝1.连接QB, QC, QP. (Ⅰ)证明：AQ⊥平面PBC； (Ⅱ)求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值. 5.如图，菱形的对角线与相交于点，平面，四边形为平行四边形. （1）求证：平面平面； （2）若，，点在线段上，且，求平面与平面所成角的正弦值. 6．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 7.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点. (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值. 8.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=，． （1）求证：CF⊥平面BDE； （2）求二面角A-BE-D的大小． 9.如图，四面体中,是正三角形，是直角三角形，． （1）证明：平面平面； （2）