专题06 导数模块的“双参”常见的分析策略-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题 ----- 导数模块的“双参”常见的分析策略 【专题导航】 导数模块中研究双参数的问题，在复习过程中常一笔带过，或者以习题的形式出现.我在《备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略(7)多变量分析法》一文中有此类题的分析，而2022年高考天津卷压轴题就考查了这个知识点的几何分析法，今年本专题就这个盲点作独立整理，希有助于同仁们教学参考，学生复习备考． 题型一 构造主元函数 罗师导航 合适选择一个参数表示另一个参数，进而构造一元函数解决问题，关键是如何选择主元呢？基本原则：复杂结构的参数为自变量，即为主元． 【例1-1】已知不等式对任意实数x恒成立，求的最大值． 【例1-2】已知函数． (1)当a=2时，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若对任意的x>0，有f(x)≤b+a（），证明：b≥－2a． 【能力达标训练】 【1-1】已知在上恒成立，求的最小值． 【1-2】已知函数，都有的最小值为0，求的最小值． 【1-3】已知，函数，.若，求的取值范围. 【1-4】一般地，对于函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为．若关于的不等式对于任意恒成立，求的最大值. 【1-5】已知m，n为实数，，若对恒成立，求的最小值. 【1-6】已知关于的不等式对任意恒成立，求的最大值. 【1-7】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，证明：. 【1-8】已知函数，．当，时，若恒成立，求ab的最大值． 【1-9】已知函数.若在函数的定义域内，总有成立，试求的最大值. 【1-10】已知函数，，若，，求的最小值 题型二 构造参数的几何意义 罗师导航 充分利用参数结构的几何意义，如斜率、截距、距离等，建立数学模型 【例2-1】（2022年高考天津）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围；（ii）求证：． 【例2-2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值． 【能力达标训练】 【2-1】设函数在区间上存在零点，则的最小值为（       ） A． B． C．7 D． 【2-2】已知，函数，若其在区间上至少有一个零点，则的最小值是________. 【2-3】若存在，使得对于任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 【2-4】已知函数满足，若，求的最大值. 【2-5】已知函数，对于定义域内的任意恒有，求的最大值. 题型三 不等式放缩 罗师导航 不等式放缩也是处理双变量问题的一个重要分析方法 【例3-1】已知，且恒成立，求的最小值. 【能力达标训练】 【3-1】已知函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【3-2】已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【3-3】已知正数a，b满足，求的值． 【3-4】已知，函数，是的导函数，若存在实数，，使得恒成立，证明：． 7 / 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 ----- 导数模块的“双参”常见的分析策略 【专题导航】 导数模块中研究双参数的问题，在复习过程中常一笔带过，或者以习题的形式出现.我在《备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略(7)多变量分析法》一文中有此类题的分析，而2022年高考天津卷压轴题就考查了这个知识点的几何分析法，今年本专题就这个盲点作独立整理，希有助于同仁们教学参考，学生复习备考． 题型一 构造主元函数 罗师导航 合适选择一个参数表示另一个参数，进而构造一元函数解决问题，关键是如何选择主元呢？基本原则：复杂结构的参数为自变量，即为主元． 【例1-1】已知不等式对任意实数x恒成立，求的最大值． 【答案】；【分析】将不等式转化为对任意实数恒成立，令，利用导数得恒成立，于是有，构造函数，，利用导数求最大值即可． 【详解】因为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立， 令，则，当时，，在上单调递增， 当趋于时，趋于，不满足在上恒成立；当时，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以， 又因为在上恒成立，所以，所以， 所以，令，，则， 所以 在上单调递增，在上单调递减，所以，所以． 【例1-2】已知函数． (1)当a=2时，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若对任意的x>0，有f(x)≤b+a（），证明：b≥－2a． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）把a=2代入，求出函数f(x)在x＝1处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答. （2）等价转化给定的不等式，构造函数并求其最大值，再构造函数并求其最小值作答. 【解析】(1)当a=2时，，，求导得：，则，有，即，所以f(x)在x＝