2023年江苏省南京市南师附中特长生考试数学试题

2023【南 附中】特长生数学 综 卷 1.若 x= 1 5+ 2 ,则 x3+4x2+2x+ 6= . 2.方程 x- 1+ 1 + x- 1- 1 = 1x- 1 的解为 . 3. 5张卡片上分别写 数字 1、1、2、2、3,从中任意抽取 3张,则这 3个数字可以 为三角 形三边的边长的概率为 . 4.如图,△ABC中,D,E BC上,AD=AE,∠BAE=∠ACB,若AC= 6,CD= 4,则BD = . A B CD E 5.已知质数 x,y,z满足 xyz= 7 x+ y+ z ,则 x2+y2+z2= . 6.已知方程 x2- k2+2k+ 6 x+ 2k2+4k+ 8= 0,k∈R. 1 求证:该方程恒有两个不相等的实数根; 2 设该方程的两个实根为 x1,x2,求 x1-x2 的最 . 7.因式分解: 1 a3b- ab3+a2+b2+1; 2 9a2-4b2+4bc- c2 8.如图,△ABC的外心为O, 心为H,D为BC的中点.求证:AH= 2OD. A B CD HO 数学加试 9.已知 a+ b+ c= 2023, a x2-yz = b y2-xz = c z2-xy ,x+ y+ z≠ 0,求 ax+ by+ czx+ y+ z 的 . 10.已知方程 ax2+2 a+ 3 x+ a+ 2 = 0有正根,求 a的取 围. 11.如图,⊙O内切于半径为 3, 心角为 60°的扇形中,⊙E与⊙O外切,与扇形内切,求⊙ E的半径 O E 12.已知 n,k 为正整数,且对于每一个 定的 n,满足不等式 59 < n n+ k < 4 7 的 k仅有 一个,求n的最大 与最 . 信息加试 13.已知 a+ b+ c= 2023, a x2-yz = b y2-xz = c z2-xy ,x+ y+ z≠ 0,求 ax+ by+ czx+ y+ z 的 . 14.已知方程 ax2+2 a+ 3 x+ a+ 2 = 0有正根,求 a的取 围. 15.已知整数 a,b,c满足 a< 0< b< c,且其中任意两数之 是第三个数的整数 ,求 a+ b c 所有可能的 . 2023南师附中特长生考试 综合卷（数学试题） 一、填空想 小若“5+2则244+2+6= 【将1国为75-2，所以25.所以+2旷-5 整理得x2+4x=1,所以x+4x2+2x+6=xx2+4x+2x+6=3x+6=3W5 2方卧可++小可-古的解为 【禁折1国为吉-可+可-可+园 所以0sx-1s1,所以05-1s1 所以可可-可+-可-2 所以=互 3 3,5张“一诚卡”上分别写着数字1、1、2,2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以 作为三角形三边的边长的概率为 【解折】5张一该卡片任选3张，共有10种选法，其中可以作为三角形三边的边长的 选法有：22)失2特达.22引.共3种选去，所以所泰斑车为治 4、如图，△AC中，D,E在C上，AD=AE,∠BAE=∠ACB,若AC=6,CD=4, 则BD= D 【解新】由∠BAE=∠ACB可得△ABEn△CBA,故∠BAC=∠AEB 又因为AD=AE,所以∠BAC=∠AFB=∠ADC, 所以△ACDn△BC4,所以C=CD BC AC 所以BC=C-g=9,所以BD=BC-CD=5 CD4 5、已知顷数x少，：满足：=7(x+y+),则x2++2=一· 【解析】由：=7(x+y+:)可知7：，不封设x=7, 则：=7+y+:,则(0y-1)(:-1)=8, 结合：为质致，易得（以小=(35）(53)： 所以x2+y2+2=7+32+52=83. 二，解答题 6、已知方程x2-(:+2张+6)x+(2+4楼+8)=0(k为常数 ()求证：该方程恒有两个不相等的实数根 2四设该方程的两个实根为无，，求名一的最小值。 【解新】1源方程可化为：(x-2)x-(+2k+4]=0, 所以原方程的两根为2和+2山+4， 义因为2+2业+4=(k+)+3>2 所以孩方程旋有两个不相等的实数根， 2迪1可得名-=（化++121，所以：-的装小位为1. 7、1)因式分解：ab-ab+a2+b+1. 【解析】设x=I,则原式=x2+(a23+6)x+ab(a+ba-b) =x+(a+b)x+(ab+b2Hai-ab) =(x+a*-ab)(x+ab+b2)=(a-ab+1)8+ab+1). (2因式分解：9x2-4b2+4hc-c 【解新】原式=9a2-(462-46c+c2）=(3a-(2b-c=(3a+2b-cj(3a-2h+c）. 8、如图， △4BC的外心为O,垂心为H,D为BC的中点.求证：AH■2OD, H 0 【解析】过点B作O的直径BE,连AE.