第01讲 函数的概念（八大题型）（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第01讲 函数的概念 目录 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 题型一：函数的概念 例1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【解题方法总结】 利用函数概念判断 题型二：同一函数的判断 例4．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B． C．， D．，，0，，，，0， 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 题型三：给出函数解析式求解定义域 例7．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域为________. 例8．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________. 例9．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______． 变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________. 变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 题型四：抽象函数定义域 例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为， 则函数的定义域为_____ 例11．（2023·高三课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______． 例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______. 变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______ 变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，