8.1.1向量数量积的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.1 向量数量积的概念 第八章 1 学习目标 了解向量的数量积的抽象根源; 了解向量数量积的概念和向量夹角; 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义; 向量数量积的简单应用; 掌握向量垂直的条件. 学习重点:向量数量积的定义. 学习难点:从数形两方面掌握向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解. 情景与问题 标 矢 我们在物理课中学过,力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图8-1-1,小车在力F的作用下产生位移s,力F所做的功 分析: 功 W 是 量 力 F 是 量 位移s 是 量 是 . 思考: 给定任意两个向量 能否确定出一个类似的标量? 矢 力F与位移s的夹角 一、两个向量的夹角 A B O θ 定义:给定两个非零向量 ,在平面内任选一点O,做OA= ,OB= , 则称[0,π]内的∠AOB为向量 与向量 的夹角,记作 . 45° 90° 0° 180° 45° 90° 0° 180° 如上图: 向量 与向量 的夹角为 ,即 = . 类似的: 向量 与向量 的夹角为 ,即 = . 向量 与向量 的夹角为 ,即 = . 向量 与向量 的夹角为 ,即 = . 当<a,b>=90°时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b. 零向量的方向不确定,规定零向量与任意向量垂直. a与b为两个非零向量,那么 1.<a,b>的取值范围是什么? 2.<a,b>=<b,a>是否成立? 0≦<a,b>≦π <a,b>=<b,a> 思考 二、平面向量的数量积 注意: 两个非零向量的数量积是一个实数,实数的大小与两个向量的模长及其夹角有关. 前面所说的力做的功就是,力F及其作用下小车产生的位移s的数量积F∙s. 两个向量 与 的数量积只能写成 ,中间的“∙”不能省略,也不能写成“×”. 定义:一般的,当向量 与向量 为非零向量时,称 为向量 与向量 的数量积(也称为内积),记作 ,即 思考 : 两个非零向量的数量积可以是正数、负数和零么? < = > > = < > = < 如右图: 90°,即 0,则 0; 90°,即 0,则 0; 90°,即 0,则 0. 从定义可知,数量积的符号是由 决定的,即由 决定. 思考两向量数量积的绝对值 与 的大小关系? 1. 2. (一般地, 可以简写成 ) 即 3. 零向量与任意向量的数量积为0. 4. 与 垂直的充要条件是它们的数量积为零,即 向量数量积的性质: 例1 解: (1) 由已知可得 a ∙ b=|a||b|cos<a,b> =5×4×cos120°=-10; (2) 由a ∙ b=|a||b|cos<a,b>可知, 3=3×2×cos<a,b>, 因此cos<a,b>=1/2,从而可知<a,b>=60°. 从例1(2)可知,若a,b都是非零向量, 则cos<a,b>= (1)已知|a|=5,|b|=4,<a,b>=120°,求a∙b; (2)已知|a|=3,|b|=2,a∙b=3,求<a,b>. 随堂练习 1.根据以下条件,分别求a ∙ b. (1)|a|=8,|b|=4,<a,b>=60°; (2)|a|=4,|b|=1,<a,b>=0. 2.根据以下条件,分别求<a,b>. (1)a ∙ b=5,|a||b|=10; (2)a ∙ b=6 ,|a|=2,|b|=6. 【答案】 1.(1)16; (2)4. 2.(1)60°; (2)30°. 三、向量的投影与向量数量积的几何意义 什么叫做投影? 如图所示,设非零向量AB=a,过A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量A'B'为向量a在直线l上的投影向量或投影. → → A' B' a b b a A'(B') A' B' < = > 设向量b所在的直线为l,则向量a在直线l上的投影称为向量a在向量b上的投影. 如上图,向量a在向量b上的投影为向量A'B‘. → 当<a,b> 90°时,A'B'与b同向 |A'B'|=|a|cos<a,b>. → → 当<a,b> 90°时,A'B'为零向量 |A'B'|=0. → → 当<a,b> 90°时,A'B'与b反向 |A'B'|=-|a|cos<a,b>. → → 向量a在向量b上的投影A'B'的方向与<a,b>有什么联系呢? → 三、向量的投影与向量数量积的几何意义 一般的,如果 都是非零向量,则称 为向量 在向量 上的投影的数量(投影数量与投影长度有关,但有正负之分). 几何意义: 与 的数量积等于向量 在向量上的投影数量与向量 的模的乘积. 注意: 当 为单位向量时, ,因此, 即任意向量与单位向量的数量积都等于该向量在单位向量上的投影数量. A' B' 例2 解: (1)方法一: 由图可知,|a|=1,|b|=√2,<b,a>=45°,因此