2023年全国高中数学联赛内蒙古赛区预赛试题

6 2023 年内蒙古预赛 一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分） 1. 若 a > 0，b > 0，且 a+ 2b = 6，则 ln a+ 2 ln b 的最大值为 ． 2. x, y ∈ R，且满足  (x+ 1) 3 5 + 2023(x+ 1) = −2023 (y + 1) 3 5 + 2023(y + 1) = 2023 ，则 x+ y = ． 3. 设 a, b, c满足 a+b+c = a3+b3+c3 = 0，n为任意实数，则 a2n+1+b2n+1+c2n+1 = ． 4. 设 a1, a2, · · · , an, · · · 满足 a1 = a2 = 1，a3 = 2，求对于任意的 n ∈ N∗，都有 an·an+1·an+2·an+3 = an + an+1 + an+2 + an+3，则 2023∑ i=1 ai = ． 5. tan π 9 · tan 2π 9 · tan 4π 9 = ． 6. 设 A、B 为函数 f(x) = 3− x2 的图象上在 y 轴两侧的点，则 f(x) 在 A、B 两点的切线与 x 轴 围成的区域面积的最小值为 ． 7. log4(x+ 2y) + log4(x− 2y) = 1，则 |x| − |y| 的最小值为 ． 8. 将 8 个半径为 2 的球分两层放置于 个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切， 且与圆柱的 个底面和侧面都相切，则圆柱的高为 ． 13 6 2023 年内蒙古预赛 二、解答题（本题满分 56 分） 9.（16 分）设 A、B 为椭圆 x 2 4 + y2 3 = 1上不同的两个点，直线 AB 分别与 x轴、y 轴交于 P (m, 0)， Q(0, n)，（m ̸= ±a，m ̸= 0），（n ̸= ±b，n ̸= 0）．若 M 是直线 y = 3 n 上任意 点，且直线 MA、 MQ、MB 的斜率存在且都不等于 0．试问：直线 MA、MQ、MB 斜率的倒数能否排成等差数列？ 若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 10.（20 分）某城市采用摇号买车的方式，有 30 万人摇号，每个月有 3 万个名额． (1) 如果每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下个月进行摇号且每到下个月都有 3万 人补充进入摇号队伍，则平均每个人摇上号需要多长时间？ (2) 在（1）的条件下，若交管所可以控制摇上号的人数比例，使得每个季度的第 个月摇上的概 率为 1 11 ，第二个月摇上的概率为 1 10 ，第三个月摇上的概率为 1 9 ，则平均每个人摇上号需要多 长时间？ 11.（20 分）求所有满足 √xy + √ uv 为有理数，且 ∣∣∣x 9 − y 4 ∣∣∣ = ∣∣∣u 3 − v 12 ∣∣∣ = uv − xy 的正整数组 (x, y, u, v)． 14