2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题

1 2023 年北京预赛 一试 前 8 题每题 8 分，第 9 题 16 分，第 10、11 题每题 20 分 1. 如图，∠ACB = 90◦，AC = BC，AD ⊥ CE，BE ⊥ CE，垂足分别是 D,E．已知 AD = 8， BE = 3，则 DE = ． 2. S 是集合 {1, 2, · · · , 2023} 的子集，满足任意两个元素的平方和不是 9 的倍数，则 |S| 的最大值 是 ．（这里 |S| 表示 S 的元素个数） 3. 已知函数 f(x) = sinωx + sin 2x，其中 ω ∈ N+，ω ≤ 2023．若 f(x) < 2 恒成立，则满足题设 的常数 ω 的个数为 ． 4. 已知集合 A = {1, 2, 3}，映射 f：A → A，且满足对任意 x ∈ A，有 f(f(x)) ≥ x，则这样的 f 有 个． 5. 已知向量 | »a | = 1，| »b | = 2，且 »a，»b 的夹角为 120◦．若 »a + t »b 与 t »a + »b 的夹角为锐角，则 t 的取值范围是 ． 6. 设实数 x, y 满足  x3 − 3x2 + 2026x = 2023y3 + 6y2 + 2035y = −4053 ，则 x+ y = ． 7. 已知在 △ABC 中，a = 2b，cosB = 2 √ 2 3 ，则 sin A−B 2 + sin C 2 = ． 8. 使得 n2 + 2023n 为完全平方数的正整数 n 的最小值是 ． 9. 已知 a, b 为正整数，a < b，且 a, b 互质．若关于 x, y 的不等式 ax+ by ≤ ab 有且仅有 2023 组 正整数解，则 (a, b) = ．（求出满足题意的所有可能数组） 10. 已知 x 是 个锐角，那么 8sinx + 1 cosx 的最小值是 ． 11. 现有 11 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 9 点开始到下午 5 点结束，每小时 安排 场公益小讲堂，每场需要 1 位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在 排班时不会让同 人连续讲解 2 场，并且第 场与最后 场需要两位不同的同学负责．则馆方共有 种排班方式． 3 1 2023 年北京预赛 二试 一、（40 分）已知实数 a1, a2, · · · , an > 0，求证： n∑ i=1 ai−1 ai ≥ n∑ i=1 ai−1 + ai + 1 ai + ai+1 + 1 , 其中 a0 = an，an+1 = a1． 二、（40 分）如图，△ABC 为给定的锐角三角形，其内切圆 ω 分别与边 AB,AC 切于点 K,L． 高 AH 分别与 ∠ABC,∠ACB 的平分线交于点 P,Q．设 ω1, ω2 分别为 △KPB,△LQC 的外接圆， AH 的中点在 ω1, ω2 外．求证：从 AH 的中点引向 ω1 和 ω2 的切线长相等． 三、（50 分）某校举办数学文化节，据统计当天共有 980 多（不少于 980，小于 990）名同学进校 参观，每位同学进校参观 段时间后离开（之后不会再进来）．若无论这些同学以怎样的时间安排参 观，我们都能找到 k 位同学，使得要么这 k 位同学在某个时间都在校园内参观，要么任何时间他们 中都没有两个人同时在校园内参观．求 k 的最大值． 四、（50 分）求所有的正整数 k ≤ 100，使得存在整数 n，满足 3n6 + 26n4 + 33n2 + 1 为 k 的 倍数． 4