江苏省南京市师范大学附属中学秦淮科技高中2022-2023学年高一下五月月考数学试卷

2022-2023学年南京师范大学附属中学秦淮科技高中高一下五月月考试卷 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．设复数z＝，则的虚部是（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．在△ABC中，内角A、B满足sin2A＝sin2B，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝4，a＝4，A＝45°，则sinC等于（　　） A． B． C． D． 4．已知向量，且，则tan（π+α）＝（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．若与共线，则＝或者＝﹣ B．若•＝•，则＝ C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点 D．若，为单位向量，则＝ 6．已知直线a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若a⊥α，a⊥β，则α∥β B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊥b，b⊥α，a∥β，则α∥β D．若α∥β，a与α所成角和b与β所成角相等，则a∥b 7．设a＝sin250°，b＝﹣cos50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 8．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点．要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F的长的最大值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题正确的是（　　） A．若，则z1＝z2 B．|z1z2|＝|z1||z2| C．若，则|z1z2|＝|z1z3| D． 10．已知向量，，则下列命题正确的是（　　） A．的最大值为 B．若，则 C．若是与共线的单位向量，则 D．当取得最大值时， 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　） A．斜三角形ABC中，tanAtanBtanC＝tanA+tanB+tanC B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若acosB﹣bcosA＝c，则△ABC一定为直角三角形 D．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC外接圆半径为 12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　） A．直线BD1⊥平面A1C1D B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．已知复数z满足（1+i）z＝2﹣i（i为虚数单位），则|z+i|＝　 　． 14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DB1与平面ABCD所成角的正弦值为　 　． 15．等边△ABC中，已知AB＝1，点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则cos∠MPN＝　 　． 16．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC＝ccosB，则＝　 　，的最小值为 　 　． 四．解答题（共6小题，共70分） 17．（10分）（1）若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z满足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求复数z． 18．（12分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD． （2）求证：MN⊥CD． 19．（12分）在①b+bcosC＝csinB，②S△ABC＝，③（3b﹣a）cosC＝ccosA，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____． （1）求cosC的值； （2）若点E在AB上，且＝2，CE＝，BC＝3，求sinB． 20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点． （1）若PA＝PD，求证：AD⊥平面PQB； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积． 21．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接