浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二(下)期中数学试卷 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 第I卷(选择题) 一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项) 1. 已知集合,,若( ) A. B. C. D. 2. 过点且与直线:平行的直线方程是( ) A. B. C. D. 3. 在等差数列中,若,则( ) A. B. C. D. 4. 若平面向量与的夹角为,,,则等于( ) A. B. C. D. 5. 已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列条件可以推出的是( ) A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 6. 已知是定义在上的奇函数,当时,,则在上的表达式是( ) A. B. C. D. 7. 设公差不为的等差数列的前项和为,则有,,成等差数列类比上述性质,若公比不为的等比数列的前项积为,则有( ) A. ,,,,成等比数列 B. ,,,,成等比数列 C. ,,,,成等比数列 D. ,,,,成等比数列 8. 已知函数,对,,当时,恒有,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求) 9. 已知函数的图象经过点,则( ) A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 在内的值域为 10. 在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球,甲盒中有个小球,标号分别为,,,,乙盒中有个小球,标号分别为,,现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球,记事件“取到标号为的小球”,事件取到标号为的小球”,事件“两个小球标号都是奇数”,事件“两个小球标号之和大于”,则( ) A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥 C. D. 11. 南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球,,以此类推设从上到下各层球数构成一个数列,则( ) A. B. C. D. 12. 已知函数,若,其中,则( ) A. B. C. D. 的取值范围为 第II卷(非选择题) 三、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 已知为虚数单位,复数,则 _ . 14. 若直线:与圆:相切,则实数 . 15. 在中,内角,,的对边分别为,,,且,,则 _ . 16. 设椭圆的左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,且直线与轴垂直,直线的斜率为,则椭圆的离心率为_ . 四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. 本小题分 为了加强对数学文化的学习,某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷满分分,并对整个高二年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了名学生的成绩单位:分,按照,,,分成组,制成了如图所示的频率分布直方图假设每名学生的成绩均不低于分. 求频率分布直方图中的值,并估计所抽取的名学生成绩的平均数; 若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人,再从这人中任意抽取人参加这次考试的质量分析会,试求成绩在的学生恰有人被抽到的概率. 18. 本小题分 已知函数. 求函数的最小正周期及其单调递增区间; 当时,恒成立,求的最大值. 19. 本小题分 如图,在四棱锥中,平面,,且,,,,,为的中点. 求证:平面; 求直线与平面所成角的正弦值. 20. 本小题分 已知等差数列的前项和为,且,,数列满足,. 求数列和的通项公式; 设,数列的前项和为,证明:. 21. 本小题分 已知双曲线:的离心率为,且过. 求双曲线的方程; 若直线与双曲线交于两点,是的右顶点,且直线与的斜率之积为,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标. 22. 本小题分 已知函数,. 若,求函数在处的切线方程; 若存在实数,,使,且,求的取值范围. 答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义直接写出即可. 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 【解答】 解:,, , 故选:. 2.【答案】 【解析】解:设过点且与直线:平行的直线方程是, 将点的坐标代入直线的方程得,解得, 故所求直线方程为,即. 故选:. 设所求直线方程为,将点的坐标代入所求直线方程,求出的值,即可得解. 本题主要考查直线平行的性质,属于基础题. 3.【答案】 【解析】解:根据题意,在等差数列中,若,则有, 则. 故选:. 根据题意,由等差数列的性质可得,进而可得,计算可得答案. 本题考查等差数列的性质以及应用,涉及三角函数的恒等变形,属于基础题. 4.【答案】 【解析】解:因为平面向量与的夹角为,,, 所以,, 所以. 故选:. 先求向量的数量积,然后利用向量的模的求