北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练数学试卷（四）

2022-2023学年北京市101中学高三（下）统练数学试卷（四） 一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设集合A＝{x∈R|x＞1}，B＝{x∈R|x2≤4}，则A∪B＝（　　） A．[﹣2，+∞） B．（1，+∞） C．（1，2] D．（﹣∞，+∞） 2．抛物线x2＝4y上的点到其焦点的最短距离为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 3．已知向量与向量的夹角为60°，||＝||＝1，则|﹣|＝（　　） A．3 B． C． D．1 4．若函数f（x）的定义域为R．则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设函数f（x），g（x）在R的导函数存在，且f′（x）＜g′（x），则当x∈（a，b）时（　　） A．f（x）＜g（x） B．f（x）＞g（x） C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b） 6．三棱锥A﹣BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB＝3，BD＝1，则该三棱锥体积的最大值为（　　） A．2 B． C．1 D． 7．已知直线l：y＝﹣1，定点F（0，1），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为（　　） A． B．π C．3π D．4π 8．一个圆周上有8个点，连接任意两点画出弦．如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”．则此圆上的“自由弦对”总组数为（　　） A．70 B．140 C．210 D．280 9．在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则等于（　　） A．1 B． C． D． 10．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3，4}，则k的最大值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题共5小题。 11．已知，其中i是虚数单位，那么实数a＝　 　． 12．在（3x﹣1）6的展开式中，x2的系数为　 　．（用数字作答） 13．已知双曲线的一个焦点是抛物线 y2＝8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为　 　． 14．已知m，4，n是等差数列，那么＝　 　；mn的最大值为　 　． 15．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．tanh函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于tanh函数的以下结论： ①tanh函数是增函数； ②tanh函数是奇函数； ③对于任意实数a，函数y＝|f（x）|﹣ax﹣1至少有一个零点； ④曲线y＝f（x）不存在与直线垂直的切线． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．设函数f（x）＝4cosxsin（x﹣）+，x∈R （Ⅰ）当x∈[0，]，时，求函数 f （x）的值域； （Ⅱ）已知函数 y＝f （x）的图象与直线 y＝1有交点，求相邻两个交点间的最短距离． 17．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立． （Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论） （Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率； （Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望． 18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G是EF的中点． （1）证明：AG⊥平面ABCD． （2）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG 的长． （3）判断线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．设F1，F2分别为椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆E上，且点P和F1关于点C（0，）对称． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l