2023年九年级中考数学复习 旋转讲义

旋转 一、常见的半角模型： 【90（含45°）】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D,E在BC上，且∠DAE=45°，求证：BD2+CE2=DE2 如图，在正方形ABCD中，已知E，F分别是边BC，CD，且满足∠EAF=45°，AE，AF分别与对角线交于M，N. 证明以下结论： ①BE+DF=EF ②S△ABE+S△ADF=S△AEF ③∠AEB=∠AEF=∠ANM，∠AFD=∠AFE=∠AMN ④BM2+DN2=MN2 ⑤2AM2=BM2+DM2， 2AN2=DN2+BN2 ⑥AH=AB ⑦C△ECF=2AB 【120°（含60°）】 如图，在正△ABC外部作等腰△BCD，∠BDC=120°，点M、N分别在边AB、AC上，∠MDN=60°，DM、DN分别交BC于P、Q，证明以下结论 （1）BM+CN=MN （2）MD平分∠BMN，ND平分∠CNM （3）BP2+CQ2-BPCQ=PQ2 二、对角互补型（对角互补、邻边相等、角平分线） ①∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α ②OC平分∠AOB ③CD=CE 以上面任意两个作为条件，另一个作为结论，证明是否成立？ 灵活运用：1.如图：∠DOE=∠DCE=90°，OC平分∠DOB 证明：①CD=CE ②OD+OE=OC ③S△OCD+S△OCE=OC2 2. 如图：∠DOE=2∠DCE=120°，OC平分∠DOE ①CD=CE ②OD+OE=OC ③S△OCD+S△OCE=OC2 3.如图：∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB， 证明：①CD=CE，②OE-OD=OC，③S△OCE-S△OCD=OC2 4.如图：∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，证明：①CD=CE，②OD-OE=OC， ③S△OCD-S△OCE=OC2 三、共顶点等腰三角形（手拉手） 1.共顶点等边三角形 △ABC和△DCE为等边三角形，且点B、C、E共线 请证明以下结论： ①△BCD≌△ACE ②△BCG≌△ACH ③△CEH≌△CDG ④求∠AFB的度数. ⑤FC平分∠BFE ⑥BF=AF+FC EF=DF+CF ⑦GH∥BE ⑧△CGH为等边三角形 2.共顶点等腰直角三角形 ①等腰Rt△AOB和等腰Rt△EOF，点O为公共顶点，△EOF绕点O顺时针旋转，连接AE、BF， （1）AE和BF的关系；（2）设AE、BF交于点H，连接OH，求证：OH平分∠AHO ②当△EOF转到如下图位置时，连接BE、AF； （1）点M为BE中点，连接MO并延长交AF于N，求证：MN⊥AF； （2）过点O作OP⊥BE，并OP反向延长线交AF于Q，求证：Q是AF的中点. 四、脚拉脚 【探究1-同侧型-脚拉脚】如图BA=BC，DC=DE，∠ABC=α，∠CDE=180°-α，若P为AE中点， ①当点A、C、P共线时，试猜想BP与DP的位置关系，并证明你的猜想； ②当点A、C、P不共线时，以上结论是否仍然成立，如果成立，请证明；不成立请说明理由. 【探究2-异侧型-脚拉脚】如图BA=BC，DC=DE，∠ABC=α,∠CDE=180°-α，若P为AE中点， ①当点A、C、P共线时，试猜想BP与DP的位置关系，并证明你的猜想； ②当点A、C、P不共线时，以上结论是否仍然成立，如果成立，请证明；不成立请说明理由. 脚拉脚模型方法归纳： 灵活运用1.如图，∠BAC＝α，∠EDC＝180°－α，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点. (1)如图1，点A，C，D共线，求∠PAC的大小(用含α的式子表示); (2)如图2，点A，C，D不共线，求证:AP⊥DP. 2.如图，∠A+∠C=180°，E、F分别在BC，CD上，且AB=BE，AD=DF，M为EF中点， 求证：DM⊥BM. 3.已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形. (1)如图1，点E，G分别在AB，AD上，连接CF，点H为CF的中点，EH与DH的位置关系是______，数量关系是_________ (2)如图2在图1的基础上，把正方形AEFG绕点A顺时针旋转角度α(α为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由. 4.如图1，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠A