专题09 四边形综合-学易金卷：2023年中考数学一模试题分项汇编（北京专用）

专题09 四边形综合 一．解答题（共14小题） 1．（2023•门头沟区一模）如图，在菱形中，于，于． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，如果，，求的长． 2．（2023•石景山区一模）如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 3．（2023•通州区一模）已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，且，求的长． 4．（2023•房山区一模）如图，中，对角线、交于点，在上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 5．（2023•西城区一模）在中，是边上的中线，点在线段上，点在线段的延长线上，，连接，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形． （2）若， ①依题意补全图2； ②求证：四边形为菱形． 6．（2023•延庆区一模）如图，在平行四边形中，连接，．点为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 7．（2023•丰台区一模）如图，在中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 8．（2023•海淀区一模）如图，在四边形中，，过点作交于点，点为边上一点，，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 9．（2023•朝阳区一模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，在上，，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 10．（2023•北京一模）如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 11．（2023•顺义区一模）如图，的对角线，相交于点，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 12．（2023•大兴区一模）如图，在菱形中，对角线、的交于点，延长到，使得．连接．过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 13．（2023•平谷区一模）如图，在平行四边形中，点是中点．点是中点．连接、、，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点，连接．若，，求的长． 14．（2023•东城区一模）如图，在平行四边形中，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，延长到点，在的内部作射线，使得，过点作于点．若，，求的度数及的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 四边形综合 一．解答题（共14小题） 1．（2023•门头沟区一模）如图，在菱形中，于，于． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长为． 【分析】（1）由于，于，得，由菱形的性质得，则，即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形是矩形； （2）由，，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：于，于， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ，， ， ， ， ， ， 解得， 的长为． 2．（2023•石景山区一模）如图，在中，，，分别为，的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，可证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接，证是等边三角形，得，再证是直角三角形，，然后由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ． 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ， 是等边三角形， ， ，是直角三角形，， ， 是的中点， ， 即的长为． 3．（2023•通州区一模）已知在中，，点，分别是边，中点，连接，，延长到点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，且，求的长． 【答案】（1）证明过程见解答． （2）10． 【分析】（1）由，先证明四边形是平行四边形，再证明即可得结论． （2）在直角三角形中，，由，可求出，则． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 点，分别是边，中点， ， ， ， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ． 4．（2023•房山区一模）如图，中，对角线、交于点，在上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答． 【分析