第6章 创新拓展系列(十) 由数列的递推公式求通项公式——构造法（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

创新拓展系列(十)·由数列的递推公式求通项公式——构造法 题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型 　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a) [例1] (2023·河南许昌模拟)数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝4an＋6(n∈N*)，令bn＝log2(an＋2)，则等于(　　) A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023 解析：选D．∵an＋1＝4an＋6(n∈N*)，∴an＋1＋2＝4an＋6＋2＝4(an＋2)>0， 即＝4且a1＝2，∴数列{an＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列， 故an＋2＝4n，由bn＝log2(an＋2)，得bn＝log24n＝2n， 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则S2 022＝2(1＋2＋3＋…＋2 021＋2 022)＝2 022×2 023， ∴＝＝2 023. an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) [例2] 已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)， ∴＝2， ∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n. an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) [例3] (一题多法)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求数列{an}的通项公式． 解：法一　原递推式可化为 an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1).① 比较系数得λ＝－4，①式即是 an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)， 则数列{an－4·3n－1}是以首项为a1－4·31－1＝－5，公比为2的等比数列， ∴an－4·3n－1＝－5·2n－1，即an＝4·3n－1－5·2n－1. 法二　将an＋1＝2an＋4·3n－1的两边同除以3n＋1，得＝·＋， 令bn＝，则bn＋1＝bn＋，设bn＋1＋k＝(bn＋k)，比较系数得k＝－，则＝， ∴是以－为首项，为公比的等比数列，∴bn－＝·， 则bn＝－·，∴an＝3n·bn＝4·3n－1－5·2n－1. 【思维升华】　(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0，1，β≠0)的递推式可用构造法求通项，构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差数列或等比数列． (2)递推公式an＋1＝αan＋β的推广式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0，1，β≠0，γ≠0，1)，两边同时除以γn＋1后得到＝·＋，转化为bn＋1＝kbn＋(k≠0，1)的形式，通过构造公比是k的等比数列再求解． 【创新集训】 1．已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－3×2n－1 B．an＝3×2n－1 C．an＝5n＋3×2n－1 D．an＝5n－3×2n－1 解析：选D．法一　将递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1， 得＝·＋，① 令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)， 所以数列{bn－1}是以首项为b1－1＝－1＝－，公比为的等比数列，所以bn－1＝×， 即bn＝1－×＝1－， 故an＝5n－3×2n－1. 法二　设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)， 则an＋1＝2an－3k×5n， 与题中递推公式比较得k＝－1， 即an＋1－5n＋1＝2(an－5n)， 所以数列{an－5n}是以首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×2n－1， 故an＝5n－3×2n－1. 2．已知数列{an}满足递推公式an＋1＝2an＋1，a1＝1.设Sn为数列{an}的前n项和，则an＝______，Sn＝________. 解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1， 所以Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n. 答案：2n－1　2n＋1－2－n 题型二　形如an＋1＝pan＋qan－1型(其中a1＝a，a2＝b) [例4] 已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，设Sn为数列{an}的前n项和，则an＝_________________，S2n＝________________. 解析：∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝7， ∴数列{an＋an－1}是以首项为7，公比为3的