第5章 创新拓展系列(八) 奔驰定理（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

创新拓展系列(八)·奔驰定理 奔驰定理：如图所示，已知P是三角形ABC内任意一点，则S△PBC＋S△PCA＋S△PAB＝0. 推论：已知P是三角形ABC内任意一点，且x＋y＋z＝0，则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝x∶y∶z. [典例] 点P是△ABC内一点，且＝＋，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．1∶2 [思维点拨]　作出图形，根据＝＋可得＝＝，进而得＝＝或直接根据奔驰定理的推论，得到S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝5∶4∶3，进而得出△ABP的面积与△ABC的面积之比． 解析：选C．法一(常规解法)　如图所示，连接CP并延长，交AB于Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN. 因为＝＋，所以四边形AMPN为平行四边形，PN∥AQ，所以＝＝. 分别过点P，C作AB的垂线，垂足分别为E，F，则＝，所以△ABP的面积与△ABC的面积之比为＝.故选C． 法二(结论解法)　连接PC，＝＋＝(－)＋(－)＝＋－，即＋＋＝0，利用奔驰定理的推理得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝∶∶＝5∶4∶3，所以＝＝.故选C． 【创新集训】 已知△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G是△ABC的重心，且＋＋＝0，则∠ABC的大小是________. 解析：(结论解法)由点G是△ABC的重心，可得＋＋＝0， 由奔驰定理的推论及＋＋＝0， 得S△GBC∶S△GCA∶S△GAB＝∶∶＝1∶1∶1. 设a＝5m，b＝7m，c＝8m， 由余弦定理可得cos ∠ABC＝＝＝. 因为0<∠ABC<π，所以∠ABC＝.故填. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $