第十四章 不等式选讲-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义训练题组

第十四章 　 不等式选讲 真 题 特 训 1. (2022·全国卷乙,23) 已知 a,b,c都是正数,且 a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 = 1,证明: (1)abc ≤ 1 9 ; (2) a b + c + b a + c + c a + b ≤ 1 2 abc . 2. (2022·全国卷甲,23) 已知 a,b,c均为正数,且 a2 + b2 + 4c2 = 3,证明: (1)a + b + 2c ≤ 3; (2) 若 b = 2c,则 1 a + 1 c ≥ 3. 3. (2021·全国卷乙,23) 已知函数 f(x) = | x - a | +| x + 3 | . (1) 当 a = 1 时,求不等式 f(x) ≥ 6 的解集; (2) 若 f(x) > - a,求 a 的取值范围. 4. (2021·全国卷甲,23) 已知函数 f(x) = | x - 2 | ,g(x) = | 2x + 3 | -| 2x - 1 | . (1) 画出 y = f(x) 和 y = g(x) 的图象; (2) 若 f(x + a) ≥ g(x),求 a 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 单 元 测 试 1. (2023 届陕西段考) 已知正数 a,b,c 满足 1 a + 1 b + 1 c = 1, 证明: (1)abc ≥ 27; (2) b + c a + a + c b + a + b c ≥ 2 abc . 2. (2023 届江西模考) 已知函数 f(x) = | x - 2 | - 2 | x - 5 | . (1) 画出 y = f(x) 的图象; (2) 若 f(x) ≤| 2x + t | ,求实数 t 的取值范围. 3. (2023 届宁夏段考) 已知函数 f(x) = | x - 2 | +| x + 1 | . (1) 求不等式 f(x) ≤ 4 的解集; (2) 若 f(x) ≥ m2 - m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4. (2023 届河北专题练) 设正数 x,y,z 满足 2x + 2y + z = 1. (1) 求 3xy + yz + zx 的最大值; (2) 证明 3 1 + xy + 1 1 + yz + 1 1 + zx ≥ 125 26 . 5. (2023届河南段考) 已知 f(x) = | x - a | +| x + b | (a > 0,b > 0). (1) 当 a = b = 1 时,解不等式 f(x) ≤ 8 - x2 ; (2) 若 f(x) 的最小值为 1,求 1 a + 1 + 1 2b 的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 421　　　直击双 1流　高考数学 第十四章 　 不等式选讲 真 题 特 训 1. 【解析】(1) 因为 a,b,c 都是正数,且 a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 = 1, 所以 a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 ≥ 3 3 a 3 2 b 3 2 c 3 2 = 3 abc , 所以 abc ≤ 1 9 ,当且仅当 a = b = c = 3 - 23 时等号成立. (2) 因为 a + b ≥ 2 ab ,a + c ≥ 2 ac ,b + c ≥ 2 bc , 所以 a b + c + b a + c + c a + b ≤ a 2 bc + b 2 ac + c 2 ab = a 3 2 + b 3 2 + c 3 2 2 abc = 1 2 abc ,当且仅当 a = b = c = 3 - 23 时等号 成