第08讲 导函数中的同构法-【练透核心考点】2024年高考数学一轮复习全题型突破（新教材新高考）

第08讲 导函数中的同构法 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：同构函数比较大小 1 题型二：通过同构函数证明不等式 5 题型三：通过同构函数解决零点问题 9 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 15 第一部分：题型篇 题型一：同构函数比较大小 典型例题 例题1．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 例题3．（2023春·山东日照·高二统考期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2023春·浙江·高二期中）已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西·统考二模）已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：通过同构函数证明不等式 典型例题 例题1．（2023·四川达州·统考二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线过点，求的值； (2)若在内有两个不同极值点，.证明：. 例题2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数. (1)证明：； (2)若，求实数的取值范围； (3)证明：. 精练核心考点 1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数. (1)若在点处的切线方程为，求实数的值； (2)设，在（1）的条件下，若满足，求证：. 2．（2023·山东日照·统考二模）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 题型三：通过同构函数解决零点问题 典型例题 例题1．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 例题2．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则． 精练核心考点 1．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求函数在区间上的最大值； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 2．（2023春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）已知函数. (1)若，判断在区间上是否存在极小值点，并说明理由； (2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围. 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 典型例题 例题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数，． (1)若，求实数的取值范围； (2)存在正实数，使得成立，（e为自然对数的底数），求实数的取值范围． 例题2．（2023·新疆·校联考二模）已知函数，，，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：对于，都有恒成立． 精练核心考点 1．（2023·全国·模拟预测）已知，函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若对于任意的，有，求正数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 导函数中的同构法 目录 第一部分：题型篇 1 题型一：同构函数比较大小 1 题型二：通过同构函数证明不等式 5 题型三：通过同构函数解决零点问题 9 题型四：通过同构函数解决恒成立问题 15 第一部分：题型篇 题型一：同构函数比较大小 典型例题 例题1．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 故设， 则， 求导得，， 令，则， 所以函数在单调递减， 所以， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 因为，所以， 所以， 故选：B. 例题2．（2023·广东·统考二模）已知，，，则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， ， 考虑构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 所以， 所以，即， 又， 所以，故， 故选：B. 例题3．（2023春·山东日照·高二统考期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，其中，则， 由可得；由可得. 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，即，即，故， 因为，所以，，即， 所以，，即，所以，， 所以，，因此，. 故选：A. 精练核心考点 1．（2023春·浙江·高二期中）已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，， 设， 则，