第06讲 利用导数研究双变量问题-【练透核心考点】2024年高考数学一轮复习全题型突破（新教材新高考）

第06讲 利用导数研究双变量问题 目录 第一部分：方法篇 1 方法一：分离双参数，构造函数 1 方法二：比值法换元 5 方法三：变更主元法 11 方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量 13 方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题 19 方法六：值域法解决双变量函数相等问题 25 方法七：最值法解决双变量不等式问题 30 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 第一部分：方法篇 方法一：分离双参数，构造函数 典型例题 例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为常数，且． (1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值； (2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：． 精练核心考点 1．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）设方程的两个根分别为，，求证：. 方法二：比值法换元 典型例题 例题1．（2023·四川遂宁·统考二模）已知函数有两个极值点、. (1)求的取值范围； (2)若时，不等式恒成立，求的最小值. 例题2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，当时，证明：． 精练核心考点 1．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，，证明：． 2．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知函数． (1)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)设，点为曲线上的两个不同点，若，且存在，使得曲线在点处的切线与直线平行，试证明. 方法三：变更主元法 典型例题 例题1．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中阶段练习）使不等式恒成立的的取值范围是________. 例题2．（2023高一单元测试）对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 精练核心考点 1．（2023·上海·高一专题练习）对于，不等式恒成立的的取值范围是_____________ 2．（2023·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）设． (1)求在上的最小值； (2)当时，若不等式在上有解，求x的取值范围． 方法四：借助根与系数关系化双变量为单变量 典型例题 例题1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数， （1）求函数的单调增区间； （2）若函数有两个极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 例题3．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（为自然对数的底数），其中. （1）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. （2）若函数的两个极值点为，证明：. 精练核心考点 1．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数在和时取极值，且. （1）已知，求的值； （2）已知，求的取值范围. 3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 方法五：借助对数平均不等式解决双变量问题 典型例题 例题1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且在内有两个极值点（）． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)当时，，求实数的取值范围； (2)若，使得，求证：． 精练核心考点 1．（多选）（河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（    ） A． B．点的横坐标大于1 C． D．的斜率大于0 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 方法六：值域法解决双变量函数相等问题 典型例题 例题1．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C．   D． 例题2．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知函数，.若，则实数________；若对，总使成立，则实数的取值范围为________. 例题3．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）