第2章 第4节 幂函数与二次函数（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（九） 幂函数与二次函数 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·济南质检]若 是幂函数，且满足 ，则 ( C ) A. 3 B. C. D. [解析]［设 ，则 ,所以 .故选 .］ 2. 若二次函数 满足 ， ，且图象过原点，则 的解析式为( B ) A. B. C. D. [解析]［二次函数 满足 , ，且图象过原点，设二次函数为 , 可得 解得 , , 所求的二次函数为 .故选 .］ 3. [2022·延吉检测]若函数 为幂函数，且在 上单调递减，则实数 的值为( C ) A. 0 B. 1或2 C. 1 D. 2 [解析]［由于函数 为幂函数，所以 ,解得 或 ,当 时， ，在 上单调递减，符合题意.当 时， ，在 上单调递增，不符合题意.故选 .］ 4. 已知函数 的图象如图所示，则( D ) A. , B. , C. , D. , [解析]［由题图知， , , , ,所以 , , ,所以 ，即 .故选 .］ 5. （多选）已知幂函数 ，对任意 , ,且 ,都满足 ，若 , 且 ，则下列结论可能成立的有( BC ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 以上都可能 [解析]［因为 为幂函数，所以 ，解得 或 . 依题意 在 上单调递增， 所以 ，此时 , 因为 ,所以 为奇函数. 因为 , 且 ， 所以 . 因为 为增函数, 所以 ,所以 .故选 .］ 6. [2022·宜昌质检]（多选）已知函数 有两个零点 ， ，以下结论正确的是( ABC ) A. B. 若 ，则 C. D. 函数 有四个零点 [解析]［二次函数对应二次方程根的判别式 , ，故 正确; 由根与系数的关系得， , , ,故 正确; 因为 的对称轴为 ，点 , 关于对称轴对称，故 正确； 当 时， 只有两个零点，故 不正确.故选 .］ 7. [2022·张家口检测]已知幂函数 的图象过点 ，则 0. [解析]因为 是幂函数，所以 , , 又 的图象过点 , 所以 ,解得 ,所以 . 8. 已知函数 ,若 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围为 . [解析]由于函数 的图象开口向上，对称轴是 ，所以要使 在 上是单调函数，应有 或 ,即 或 . 9. [2022·江苏海安高级中学模拟]函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围是 . [解析]解方程 , 解得 或 , 解方程 ，解得 , 由于函数 在区间 上的值域为 . 若函数 在区间 上单调, 则 或 , 此时 取得最小值2; 若函数 在区间 上不单调，且当 取最大值时， ，所以 的最大值为4. 所以 的取值范围是 . 10. 设关于 的方程 的两个实数根分别是 , ,则 的最小值为7. [解析]由题意有 且 , 解得 或 , , 令 , 而 图象的对称轴为 , 且 或 , 所以 . 11. 已知二次函数 ,且 ,3是函数 的零点. （1） 求 的解析式，并解不等式 ; [解析]由题意得 解得 所以 , 所以当 时，即 , 解得 或 , 所以不等式的解集为 . （2） 若 ，求函数 的值域. [解析]令 ,则 , , 当 时， 有最小值0，当 时， 有最大值4,故 .所以 的值域为 . 12. [2022·烟台模拟]已知二次函数 ,且满足 , . （1） 求函数 的解析式； [解析]因为二次函数 满足 , , 所以 即 所以 解得 因此 . （2） 当 时，求函数 的最小值 （用 表示）. [解析]因为 是图象的对称轴为直线 ，且开口向上的二次函数， 当 时， 在 上单调递增, 则 ; 当 ,即 时， 在 上单调递减， 则 ; 当 , 即 时， , 综上 ［能力提升练］ 13. [2022·福州模拟]已知函数 ,则“ ”是“ 对 恒成立”的( C ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［若 对 恒成立， 则 解得 , 因为 是 的真子集， 所以“ ”是“ 对 恒成立”的必要不充分条件.故选 .］ 14. （多选）关于 的方程 ，下列命题正确的有( AB ) A. 存在实数 ，使得方程无实根 B. 存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 C. 存在实数 ，使得方程恰有3个不同的实根 D. 存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根 [解析]［设 , 方程化为关于 的二次方程 当 时，方程 无实根，故原方程无实根； 当 时，可得 ，则 ，原方程有两个相等的实根 ; 当 时，方程 有两个实根 , , 由 可知， , . 因为 , 所以 无实根， 有两个不同的实根.综上可知， ， 项正确， ， 项错误