第2章 第2节 函数的单调性与最值（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二节 函数的单调性与最值 【课程标准】1.理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图象分析函数的单调性. 知识分步 落实 1.函数的单调性 （1）增函数和减函数 分类 增函数 减函数 定义 要求 , 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ，如果对于任意 , ,且 要求 与 都有 都有 结论 函数 在区间 上是增函数 函数 在区间 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间. ［微提醒］　有多个单调区间应分开写，不能用符号“ ”联结，也不能用“或”联结，只能用“，”或“和”联结. 2.函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在 条件 （1）对于任意的 ，都有 （2）存在 ,使得 （1）对于任意的 ,都有 （2）存在 ，使得 结论 是 的最大值 是 的最小值 学生用书第23页 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 函数 的单调递减区间是 .( × ) （2） 具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( × ) （3） 若定义在 上的函数 有 ，则函数 在 上为增函数.( × ) （4） 函数 在 上是增函数，则函数的单调递增区间是 .( × ) 2. （多选）（必修第一册P79例3改编）下列结论正确的有( BD ) A. 函数 的单调减区间是 B. 函数 在区间 内单调递减 C. 若 在区间 上单调递增，则函数 , 在区间 上都是单调递减函数 D. 若函数 满足 , , , ，能判定 在区间 上的单调性 [解析]［对于 ，单调区间不能用“ ”连接，故单调递减区间应为 和 ，错误； 对于 ， 在 内是减函数，正确； 对于 ，若 在区间 上单调递增，则 , ,且 ，有 ，由此可推出 ，即 在 上单调递减， 在 上不一定单调递减，如 , ,所以 在 上不单调，且 时没有意义， 错误； 对于 ， 在 上单调递增（单调递减），正确.故选 .］ 3. （必修第一册P81例5改编）函数 在 上的最大值是2. [解析]该函数在 上单调递减，故当 时，函数取得最大值，最大值为2. 4. 设定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为 ， . [解析]由图可知函数的单调递增区间为 , . 5. （易错题）已知函数 是 上的增函数，且 ，则实数 的取值范围为 . [解析]因为 是 上的增函数，且 ,所以 ,即 . 巧记结论——即时应用 1.若函数 , 在区间 上具有单调性，则在区间 上具有以下性质： （1）当 , 都是增（减）函数时， 是增（减）函数； （2）若 ,则 与 单调性相同；若 ,则 与 单调性相反； （3）函数 在公共定义域内与 , 的单调性相反； （4）复合函数 的单调性与 和 的单调性有关.简记：“同增异减”. 2.增函数（减函数）的等价变形： , 且 ,则: （1） 在 上是增函数； （2） 在 上是减函数. 即时练1 （多选）下列有关函数单调性的说法，正确的是( ABD ) A. 若 为增函数， 为增函数，则 为增函数 B. 若 为减函数， 为减函数，则 为减函数 C. 若 为增函数， 为减函数，则 为增函数 D. 若 为减函数， 为增函数，则 为减函数 即时练2 下列函数中，满足“ , 且 ， ”的是( A ) A. B. C. D. [解析]［由 可知， 在 上是减函数,对于选项 ， 在 内是减函数， 在 内是增函数，则 在 内是减函数； ， 选项中的函数在 上均不单调；选项 中， 在 上是增函数.故选 .] 学生用书第24页 考点分类 突破 考点一 确定函数的单调性 多维型 角度1 求具体函数的单调区间 例1-1 （1） [2021·全国甲卷]下列函数中是增函数的为( D ) A. B. C. D. [解析]法一（通解） 取 ， ，对于 项有 , ，所以 项不符合题意；对于 项有 , ，所以 项不符合题意；对于 项有 ， ，所以 项不符合题意.故选 . 法二（优解） 如图，在坐标系中分别画出 、 、 、 四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断 项符合题意.故选 . （2） 函数 的单调递减区间是 . [解析] 画出 的大致图象（如图所示），由图知 的单调递减区间是 . 角度2 判断或证明函数的单调性 例1-2 试讨论函数 在 上的单调性. [解析]设 , , , 由于 ， 所以 , , , 故当 时， ，即 ，函数 在 上