第6章 第2节 等差数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二节 等差数列 【课程标准】1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2.探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 知识分步 落实 1.等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，符号表示为 ， 且 ， 为常数． （2）等差中项：数列 ， ， 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 与 的等差中项． ［微提醒］（1）在公差为 的等差数列 中： 为递增数列； 为常数列； 为递减数列． （2）在等差数列 中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即 成等差数列 ． 2.等差数列的有关公式 （1）通项公式： 当 时， 是关于 的一次函数模型． （2）前 项和公式： 当 时， 是关于 的二次函数，且没有常数项． ［微提醒］　数列 是等差数列 ． 3.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广： ． （2）在等差数列 中，当 时， .特别地，若 ，则 . （3）若 是等差数列，公差为 ，则 ， ， ， 是公差为 的等差数列． 学生用书第130页 （4） ， ， ， 也成等差数列，公差为 . （5） ． （6）等差数列 的前 项和为 ， 为等差数列． ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 等差数列 的单调性是由公差 决定的.( √ ) （2） 若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × ) （3） 数列 为等差数列的充要条件是对任意 ，都有 .( √ ) （4） 已知数列 的通项公式是 （其中 ， 为常数），则数列 一定是等差数列．( √ ) 2. （选择性必修第二册P15练习 改编）已知在等差数列 中， ， ，则 ( A ) A. 18 B. 16 C. 20 D. 17 [解析]［因为 ，所以 .又 ，所以 ，所以 ．故选 .］ 3. （多选）（易错题）设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下列结论正确的是( ABD ) A. B. C. D. 与 均为 的最大值 [解析][ ，则 ， ，则 ，则 ， ， .则 ， ．由 ， 知 ， 均是 中的最大值．故选 .］ 4. [2022·全国乙（文）卷]记 为等差数列 的前 项和.若 ，则公差 2． [解析]由 可得 ，化简得 ， 即 ，解得 ． 巧记结论——即时应用 已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和． （1）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列. （2）若项数为偶数 ，则 ； ； . （3）若项数为奇数 ，则 ； ； ． 即时练1 [2022·枣庄质检]已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( B ) A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 [解析]［由结论（3）,设项数为奇数 ， ，故选 ．］ 即时练2 等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有 ，则 的值为 ． [解析]由性质 和结论（3）， ，又 ． 考点分类 突破 考点一 等差数列基本量的运算 讲练型 例1 [2021·新高考Ⅱ卷]记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ． （1） 求数列 的通项公式； [解析]由等差数列的性质可得 ，则 ，所以 ， 设等差数列的公差为 ，从而有 ， ， 从而 ，由于公差不为零，故 ， 数列的通项公式为 ． （2） 求使 成立的 的最小值． [解析]由数列的通项公式可得 ，则 ， 则不等式 即 ，整理可得 ， 解得 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7． 学生用书第131页 规律方法 等差数列的基本运算的解题策略 1.等差数列的通项公式及前 项和公式共涉及五个量 ， ， ， ， ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程（组）解决问题的思想． 2.数列的通项公式和前 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 和 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法. 针对练 [2020·全国Ⅱ卷]记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则 25． [解析]设等差数列 的公差为 ， 则 ．因为 ，所以 ． 所以 ． 考点二 等差数列的判定与证明 讲练型 例2 若数列 的前 项和为 ，且满足 ， ． （1） 求证： 成等差数列； 证明：当 时，由 ， 得 ， 因为 ，所以 ． 又 ， 故 是首项为2，公差为2的等差数列． （2） 求数列 的通项公式． [解析]由（1）可得 ，所以 ． 当 时， ； 当 时