第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 【课程标准】1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2.了解四个基本事实和定理．3.了解空间中直线与直线的关系（平行、相交、异面）． 知识分步 落实 1.与平面有关的基本事实及推论 （1）与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 ， ， 三点不共线 存在唯一的 使 ， ， 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ， ，且 ， 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ，且 ，且 （2）基本事实1和基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 相交关系 图形语言 符号语言 独有关系 图形语言 符号语言 ， 是异面直线 ［微提醒］（1）基本事实3可用于证明点共线与线共点．（2）直线 和平面 相交、直线 和平面 平行统称为直线 在平面 外，记作 . 3.基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4.异面直线所成的角 （1）定义：已知 ， 是两条异面直线，经过空间任意一点 作直线 ， ，把 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）． （2）范围： . ［微提醒］（1）两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．（2）两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 学生用书第159页 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 两个平面 ， 有一个公共点 ，就说 ， 相交于过 点的任意一条直线.( × ) （2） 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( √ ) （3） 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.( × ) （4） 没有公共点的两条直线是异面直线.( × ) 2. （必修第二册P131练习 改编）若 ， ， ，则 ， 的位置关系是( D ) A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面或相交 [解析]［如图①②③所示， ， 的关系分别是平行、异面、相交．故选 .］ 3. 如图，在长方体 中， , 是 的中点，则直线 与 所成角的大小是( C ) A. B. C. D. [解析]［如图，取 的中点 ，连接 , , 易证 , 直线 与 所成的角可转化为 与 所成的角，即 ， , 是 的中点， 是等边三角形， ，即直线 与 所成的角是 .故选 .］ 4. （易错题）若直线 ，且直线 平面 ，则直线 与平面 的位置关系是 与 相交或 或 ． 巧记结论——即时应用 1.异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2.唯一性定理 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直； （4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 即时练 （多选）下列命题正确的是( AC ) A. 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 B. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 C. 过平面外一点有无数条直线与已知平面平行 D. 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 [解析]［由结论2可得 、 正确．故选 .］ 考点分类 突破 考点一 基本事实的应用 多维型 角度1 证明点线共面 例1-1 如图所示，在正方体 中， , 分别是 和 的中点，求证： , , , 四点共面. 证明： 如图所示，连接 , , , 因为 , 分别是 和 的中点，所以 且 . 又因为 , 所以四边形 是平行四边形， 所以 ，所以 ， 所以 与 确定一个平面 , 所以 ， ， ， , 即 ， ， ， 四点共面. 角度2 证明三线共点 例1-2 如图，正方体 中， , , 分别在棱 , , 上，且 , 相交于点 . 求证： , , 三线共点