2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线与x轴的另一个交点为A（-1，0）． （1）求这个抛物线的表达式； （2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积； （3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点. （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点是直线上的一个动点，当的值最小时，求的长； （3）在直线上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线交于、两点，点在轴上且位于点的左侧，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）是直线上一动点，为抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 4．如图，二次函数的图象与y轴交于C点，交x轴于点A（-2，0），B（6，0），P是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC，AC． （1）求该二次函数的表达式； （2）求线段PQ的最大值； （3）是否存在点P，使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于O、B两点，其顶点A坐标为（1，1），点C为抛物线在第四象限内的一点，其坐标为（3，﹣3）． （1）求抛物线解析式； （2）点D为抛物线在第三象限内的一点，过点D向x轴作垂线段，垂足为H，是否存在点D使得△DHO与△AOC相似，如果存在，请求出点D坐标，如果不存在，请说明理由； （3）点E、F分别为抛物线以及抛物线对称轴上的两动点，请问是否存在以BO为边，B、O、E、F为顶点的平行四边形，如果存在请直接写出点E坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q． （1）求点A、点B、点C的坐标； （2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； （3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知一次函数分别交、轴于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为． （1）求、的值及点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒． ①当为何值时，线段长度最大，最大值是多少？（如图1） ②过点作，垂足为，连结，若与相似，求的值（如图2）     8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为点． （1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标． （2）试判断的形状，并说明理由． （3）坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(－4，0)，B点坐标为(1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C． （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式； （2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论； （3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似．若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴对折，点落到点处，过点、的抛物线与直线交于点、． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积最大，求出点坐标； （3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标； （3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0