2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形 1．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，交轴于点，在轴上有点，连接．     （1）求二次函数的解析式； （2）若点为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，设点的横坐标为的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． （1）求抛物线C1的表达式； （2）直接用含t的代数式表达线段MN的长； （3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值． 4．抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），且，，与轴交于点，点的坐标为（0，-2），连接，以为边，点为对称中心作菱形.点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线与点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）轴上是否存在一点，使三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点在线段上运动时，试探究为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、线段AC于点E、F． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）连结AD，CD，求△ACD的面积； （3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线的“方点”的坐标； （2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与轴相交于、两点（在左侧），与轴相交于点，连接.若点是直线上方抛物线上的一点，求的面积的最大值； （3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 7．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，.线段的中点为. （1）求抛物线的表达式； （2）若，且点到轴的距离正好等于时，求的值； （3）直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由. 8．如图1，矩形的顶点，的坐标分别为（2，0），（0，3） ，抛物线：经过，两点.抛物线的顶点为. （1）求抛物线的表达式和点的坐标； （2）点是抛物线对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求所有符合条件的点的坐标； （3）如图2，现将抛物线进行平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与射线只有一个公共点.设平移后抛物线的顶点横坐标为，求的值或取值范围. 9．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． （1）求这条抛物线的解析式及直线的解析式； （2）段上一动点（点不与点、重合），过点向轴引垂线，垂足为，设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （3）在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O. （1）求B点的坐标及二次函数的解析式； （2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围； （3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标. 11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个