2023届浙江省杭州市临平区杭州二中树兰高级中学高三美术班午间测试数学试题（4.24）

美术数学午间测试卷（2023.04.24星期一）出题人：王晨宇 时间：30分钟 满分： 班级： 姓名： 序号： 分数： 1.在空间直角坐标系O­xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．1 2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为(　　)A． B． C． D． 3.图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　)A. B． C． D． 4.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1­DC­C1的大小为60°，则AD的长为(　　) A. B． C．2 D． 5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线OF与平面BED所成的角为45°，则AE＝________． 6.在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝AA′＝2AD＝2，以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则＝________，若点P为线段AB的中点，则P到平面A′BC′距离为________． 7.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，四边形ACC1A1是正方形，点D是棱BC的中点，点E是线段BB1的中点，AB＝4，AA1＝2，BC＝2. (1)求证：AB⊥CC1；(2)求二面角A­DC1­E的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.选B.由已知，平面OAB的一条斜线的方向向量＝(－1，3，2)，所以点P到平面OAB的距离d＝||·|cos 〈，n〉|＝＝＝2. 2.选B.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)， 所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝. 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， 则有即所以 所以n1＝(1，2，2). 因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)， 所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝， 即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为. 3.选A.因为AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2，所以AB⊥BC. 因为三棱柱为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC. 以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz， 则A(0，1，0)，C(，0，0).设B1(0，0，a)， 则C1(，0，a)， 所以D，E， 所以＝， 平面BB1C1C的法向量＝(0，1，0). 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈，〉|＝， 所以α＝. 4.选A.如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2).设AD＝a，则D点坐标为(1，0，a)，＝(1，0，a)，CB1＝(0，2，2). 设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z). 由， 得令z＝－1，则m＝(a，1，－1). 又平面C1DC的一个法向量为n＝(0，1，0)， 则由cos 60°＝， 得＝，解得a＝(负值舍去)，所以AD＝. 5.如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系． 设AE＝a，则B(0，，0)，D(0，－，0)，F(－1，0，3)，E(1，0，a)， 所以＝(－1，0，3)，＝(0，2，0)， ＝(－1，，－a). 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 则y＝0，令z＝1，得x＝－a，所以n＝(－a，0，1)， 所以cos 〈n，〉＝ ＝. 因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°， 所以＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)，所以AE＝2. 答案：2 6.如图，建立空间直角坐标系， 因为AB＝AA′＝2AD＝2， 则A(1，0，0)，C′(0，2，2)，A′(1，0，2)，B(1，2，0)，P(1，1，0)， 所以＝(－1，2，2)，＝(－1，2，0)， ＝(0，2，－2)，＝(0，1，0)， 设平面A′BC′的法向量为n＝(x，y，z)， 所以， 得即 令y＝1，则x＝2，z＝1，n