2023年中考数学二轮培优复习专题：辅助圆最大张角问题

2023年中考数学二轮培优复习专题：辅助圆最大张角问题 1．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　 　米． 2．发现问题： （1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法） 问题探究： （2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由． 问题解决： （3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度． 3．问题提出 （1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D，连接BD、CD，则∠BAC与∠BDC的大小关系为 　 　； 问题探究 （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值； 问题解决 （3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE＝4m的广告画．已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m，该电梯的高AB为4m，它所占水平地面的长AC为8m．小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视角为∠DPE．已知小明的眼睛P到脚底的距离PQ为1.5m，电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE取得最大值． 4．【问题探究】 （1）如图1，AB是⊙O的弦，直线l与O相交于点M、N两点，M1，M2是直线l上异于点M，N的两个点，则∠AMB　 　∠AM1B（用＞，＜或＝连接）． （2）如图2，AB是⊙O的弦，直线l与⊙O相切于点M，点M1是直线l上异于点M的任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系，并证明． 【解决问题】 （3）某游乐园的平面图如图3所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大．已知∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在线段OD上是否存在一点M，使得∠AMB最大，若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数，如果不存在，请说明理由． 5．问题提出 （1）如图，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一点D，使得∠ADB＝∠ACB，画出∠ADB，并说明理由； 问题探究 （2）如图，AB是⊙O的弦，直线l与⊙O相切于点M，点M，是直线l上异于点M的任意一点，请在图中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系；并说明理由； 问题解决 （3）如图，有一个平面图为五边形ABCDE的展览馆，其中AE＝DE＝40m，AB＝CD＝30m，∠A＝∠E＝∠D＝90°．展览馆保卫人员想在线段DE上选一点M安装监控装置，用来监视边BC，现只要使∠BMC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段DE上是否存在点M，使∠BMC最大？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由． 6．问题提出： （1）如图，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一点D，使得∠ADB＝∠ACB，画出∠ADB，画图的依据是 　 　； 问题探究 （2）如图，AB是⊙O的弦，直线l与⊙O相切于点M，点M1是直线l上异于点M的任意一点，请在图中画出图形，试判断∠AMB，∠AM1B的大小关系；并说明理由； 问题解决： （3）沭阳某小区游乐园的平面图如图3所示，场所物业人员想在线段OD上的点N处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠ANB最大．已知∠DOC＝60°，OA＝40米，AB＝20米，问在线段OD上是否存在一点N，使得∠ANB最大，若存在，请求出此时ON的长，如果不存在，请说明理由． 7．问题探究， （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由； （2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由； 问题解决 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，