上海市松江区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

松江区高一（下）期中考试数学试卷 2023．04 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题，每题4分，第7~12题，每题5分） 1．2023°角是第______象限角． 2．若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则sinα的值为______． 3．已知，则tanθ=______． 4．满足，的角x为______． 5．化简______． 6．已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为______． 7．已知α、β都是锐角，，，则______． 8．已知函数（，，）的部分图像如图所示，则此函数的表达式为______． 9．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的种艺术形式传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______． 10．已知α、，且，则______． 11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=30°，b=2，且满足条件的△ABC有两解，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为______． 12．定义：对于任意实数、，，记，（常数），记，若对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是______． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13．“”是“，”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．为了得到的图像，只需将函数的图像（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 15．在△ABC中，三边长分别为、、，且，则△ABC的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 16．我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（ ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本共有2个小题，第1小题满分6分，第2小满分8分 （1）已知，求sin2α的值； （2）证明恒等式：． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）求cosA的值； （2）若△ABC的面积为，且，求a的值． 19．（本题满分14分） 松江区计划在G60科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案： 方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为20m的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角△MPQ（只有MP，MQ两边为移动围挡）； 方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为20m的移动围挡EF依托墙壁围成△EOF；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？ 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分． 已知函数 （1）求函数的最小正周期． （2）当时，求函数的单调减区间； （3）当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小满分6分，第3小题满分8分． 已知函数的定义域为D，若对任意的实数，都有成立（等号当且仅当时成立），则称函数是D上的凸函数，并且凸函数具有以下性质： 对任意的实数，都有（，）成立（等号当且仅当时成立）． （1）判断函数、是否为凸函数，并证明你的结论； （2）若函数是定义域为R的奇函数，证明：不是R上的凸函数； （3）求证：函数是（0，π）上的凸函数，并求的最大值（其中A、B、C是△ABC的三个内角）． 草稿纸 学科网（北京）股份有限公司 $2022-2023学年上海市松江区高一年级下学期期中考试 数学试卷 2023.4 一、填空趣（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.2023角是第 象限角。 【答案】 【解析】2023=5×360+223,180<223<270，所以