精品解析：安徽省芜湖市第一中学2019年高中自主招生数学试卷

芜湖一中2019年高一自主招生考试 数学试卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中） 1. 当时，值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 2. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为　　 A B. C. D. 3. 设方程的两根为，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 4. 若均为自然数，则关于的方程的解共有（ ）个（表示不超过实数的最大整数） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边. 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别记为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数的图像过面积等于8的长方形的对角线的中点，为函数图像上任意一点.则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知为等腰斜边上的两点，，，.则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共7个小题，每小题7分，共49分） 8. 关于的方程的实数解为______. 9. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为_______. 10. 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为____________分. 11. 已知实数满足，，则的值为______. 12. 如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，.则圆的半径为_______. 13. 已知中的数值只能取中的一个，且满足，.则的值为_______. 14. 对于任意的正整数，记，表示，且xn+1y .则使得成立的最大整数为_______. 三、解答题（本大题共5个小题，计59分，写出必要的推算或演算步骤） 15. 解下列方程（组） （1）； （2） 16. 如图所示，已知直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点与点，点在第三象限内，且，. （1）当时，求抛物线的表达式； （2）设点坐标，试用分别表示； （3）记，求的最大值. 17. 已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得. （1）证明：； （2）证明：； （3）若，求四边形面积. 18. 已知为正整数. （1）证明：不能表示为两个以上连续整数的乘积； （2）若能表示为两个连续整数的乘积，求的最大值. 19. 如图1，设一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足. （1）证明：为中点； （2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ； （3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为.证明：若三线共点，则；反之也成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2019年高一自主招生考试 数学试卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项序号填在答题栏中） 1. 当时，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】代入的值，转化为平方差去根号即可求解. 【详解】原式，因为，则 . 故选：A 2. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【详解】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， 侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：． 【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题． 3. 设方程的两根为，则方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程，可以得到与的关系，即可求得 的根. 【详解】方程，即 ，又因为方程的两根为， 即，又因为方程可以化简为 ，代入即， 即，所以方程的根为. 故答案为：B 4. 若均为自然数，则关于的方程的解共有（ ）个（表示不超过实数的最大整数） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可