精品解析：上海市市北中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

市北中学2022学年第二学期高二年级数学期中 一、填空题（1-5题每题3分，6-10题每题4分，总计35分） 1. 点到直线的距离为______． 2. 抛物线的准线方程为________． 3. 双曲线的离心率为__________． 4. 直线倾斜角的大小为______． 5. 已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______． 6. 已知直线，，若，则实数______． 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为______． 8. 已知函数导数为，若，则______． 9. 曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为______． ①曲线一定经过原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③的面积不大于8； ④曲线在一个面积为的矩形范围内． 10. 已知实数满足，则的取值范围是___________. 二、选择题（每题4分，总计16分） 11. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ） A. B. C. 4 D. 12. 已知点，曲线方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 13. 若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）． A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（共4题，总计49分） 15. 已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点． （1）当直线l斜率为1时，求弦AB的长； （2）当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 17. 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． （1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； （2）若斜率，求的面积； （3）若是等腰三角形且，求实数． 18. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O． （1）当直线l垂直于x轴时，求弦长； （2）当时，求直线l的方程； （3）是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北中学2022学年第二学期高二年级数学期中 一、填空题（1-5题每题3分，6-10题每题4分，总计35分） 1. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 2. 抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可. 【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题. 3. 双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质求解. 【详解】双曲线的离心率为. 故答案为： 4. 直线的倾斜角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故答案为： 5. 已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可. 【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 6. 已知直线，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线，，且, 所以，解得或， 当直线，，两直线重合，故舍去. 故答案为： 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系求出圆的方程作答. 【详解】以点