2023年全国高中数学联赛四川省预赛试题

2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题 (考试时间:2023年5月21日14:30~16:30) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分. 1.已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,均有2f(c)+f(x2-1)=1,则f(√2) 的值为 2.设平面向量a、b满足:la=1,b=2,a⊥b.点O、A、B为平面上的三点,满足: OA=2a+b,O元=-3a+2b,则△A0B的面积为 3.在(-y+2x+3y-6)‘的展开式中,x的系数为,(用具体数字作答) 4.设P(0,)是y轴上异于原点的任意一点,过点P且平行于x轴的直线与曲线 y=n交于点Q,曲线y=ln在点Q处的切线交y轴于点R,则△PQR的面积的最小 值为 5.设集合I={0,1,2,…,22,A={(a,b,c,d)la,b,c,d∈I,a+d=1(mod23),且 ad-bc=0(mod23)},则集合A中元素的个数为一· 6.在直三棱柱ABC-A1BC1中,AB=1,BC=CC1=√3,∠ABC=90°,点P是平面 ABC上-动点,则A,P+是PC的最小值为 7.如图,将函数y=cosx+1(0≤x≤2x)的图象T画在矩形 4 C OABC内,将AB与OC重合围成一个圆柱,则曲线下在圆柱表面 形成的曲线的离心率为 A① 8.设A、B、C是△ABC的三个内角,则3cosA+2cos2B+cos3C的取值范围为 二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分16分)已知抛物线Γ的顶点是原点O,焦点是F(0,1).过直线y=-2上任 意一点A作抛物线「的两条切线,切点分别为P、Q,求证: (1)直线PQ过定点; (2)∠PFQ=2∠PAQ. 10.(本题满分20分)给定正整数n(n≥2).已知2n个正实数a1,a2,,a,满足: -+o 求5=Zw 兰的最小值,其中a+1=a 11.(本题满分20分)给定正整数a,(a≤b).数列{}满足: f=a,2=b,fn+2=f+1+fn(n=1,2,…). 若对任意的正整数n,都有 (②°≤+求实数A的最小值。 2023年全国高中数学联赛(四川预赛)试题 参考答案及评分标准 说明: 1、本试卷满分120,其中填空题64分,解答题56分. 2、评阅试卷时,请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档:第9题4分一个档次、 第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增 加其它中间档次 3、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思略合理,步骤正确,在评阅时可参考 本评分标准评分, 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分。 √2c 25 1、 3 2、73、-21600 4、 2 5、5526、 2 2 8(160. 二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9、(本题满分16分)已知抛物线的顶点是原点O,焦点是F(0,1).过直线y=-2上 任意一点A作抛物线厂的两条切线,切点分别为P、Q,求证: (1)直线PQ过定点;(2)∠PFQ=2∠PAg. 证明:(1)易得抛物线T的方程为x2=4y.设点A(t,-2),P(5,乃),Q(x2,2), 则过点P的抛物线「的切线马的方程为:y-片=(x-), 即xx-2y-2y=0. …4分 同理,过点9的抛物线厂的切线(2的方程为:xx-2y-2y,=0. 由、2过点A,可得xt+4-2另=0,xt+4-2y2=0, 这表明,点P(:,乃)、Q(x2,乃2)的坐标满足方程:x-2y+4=0, .直线PO的方程为:tx-2y+4=0. ∴.易得直线PQ过定点(0,2) …8分 (2)不妨设P在Q的左边,则x<x2 五_ 因为tan∠PAg=22=2(:-x) 1+左.支 2+4 22 参考答案及评分标准(第1页,共4页) 4(x-) 2tan∠PAg_= 所以tan2∠PA0=1-am2∠PA 52+4 4(x-为五+4) 1 4(:-x)月 (x+4)2-4x-x2)2 (5+4) 又因为 -1_丛-1 m现- )4s-x)+4) 1+.21 +(手-以手-)5+-4- ∴.tan2∠PA0=tan∠PFg,易知0<∠PAQ<90<∠PF2<180°, ∴.∠PFQ=2∠PAQ. …16分 10、(本题满分20分)给定正整数n(n≥2).己知2n个正实数%,42,,a2m,满足: o-Iou + 求S=2g的最小值,共中au=4 台ak 解:一方面,记A=(Ⅱa)°,则 8-++中 …5分 a2k+1 o+TIo ) …10分 另一方面,易知n=2时,取4=4=1,42=a,=2+V3时可满足条件,且S=n3. 3时,取4=42=…