3.2 函数的性质（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

3.2 函数的性质（精讲） 一．函数单调性的定义 1.单调函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图示 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 二．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M (2)∃x∈I，使得f(x)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x∈I，使得f(x)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 三．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称 奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称 四．函数的周期性 1.周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5． 函数的对称性 1.对称性：若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 2.对称中心：f(－x＋b)＋f(x＋b)＝2a，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,a)中心对称． 一．判断函数单调性常用的方法 1.定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． 2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． 3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)． 4.性质法： ①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． 5．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． 6．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”． 易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域. 二．利用单调性求参数的范围(或值) 1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 2.若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小． 3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 4.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 5.利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 三．判断函数的奇偶性 1，定义法 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 同性加减不变性，异性加减非奇偶 同性乘除为偶 异性乘除为奇 复合函数有偶为偶，两奇为奇 四．函数奇偶性的应用 1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值． 2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义