3.1 函数的概念及其表示（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

3.1函数的概念及其表示（精讲） 一．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2． 函数的三要素 1.定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3.解析式 三．函数的表示法 常用方法有解析法、图象法和列表法 四．相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 五．分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1． 函数概念的理解 (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 二．常见函数定义域的类型 1.分式型：要满足f(x)≠0（分式中分母不为零） 2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即(n∈N*)要满足f(x)≥0； 3.幂函数型：[f(x)]0要满足f(x)≠0； 4.对数型：logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0； 5.正切型：tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z． 注意事项：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 二．抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） 1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； 2.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 三．函数解析式的求法 1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． 2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． 3.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 4.解方程组：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 四．值域 1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y= ）或分子分母最高次是二次关系（形如） (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. ① →分离常数→反比例函数模型 ② →分离常数→模型 ③ →同时除以分子：→②的模型 ④ →分离常数→③的模型 共同点：让分式的分子变为常数 2.配方法：形如型,用此种方法,注意自变量x的范围 3.不等式法 4.单调性法：若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值. 5.换元法 ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如型,可用此法求其值域. 6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合. 7.导数法．利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 五．分段函数 1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 考法一 函数的概念 【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（　  ） A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系 B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系 C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系 D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系 【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【一隅三反】 1．（2022·上海）