2023年中考数学二轮专题复习-相似三角形问题（二次函数综合）

2023年中考数学二轮专题复习-相似三角形问题（二次函数综合） 1．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N． ①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2-6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式； （）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值； （）如图2，在（）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接、． ①在x轴上找一点Q，使，并求出Q点的坐标； ②求的最小值． 3．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与直线交于、两点，点在轴上且位于点的左侧，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； （3）是直线上一动点，为抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，经过点的抛物线与y轴交于点，直线l为该抛物线的对称轴，点B为点A关于对称轴l的对称点，连接AB、OB． (1)试判断该抛物线与x轴交点的情况； (2)点P为对称轴l左侧抛物线上的点，过点P作于点D，作轴于点C，连接CD，问是否存在点P，使得PCD与AOB相似？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为1的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)求的最小值； (3)过点作轴于点，当和相似时，求点的坐标． 6．如图，直线交轴于点A，交轴于点B,抛物线经过点A，交轴于点，点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作于D，连接AP． （1）求抛物线的解析式； （2）若以点为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； （3）将绕点A旋转，当点O的对应点落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点B的对应点的坐标． 7．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）当的面积等于2时，求的值； （3）在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值； (3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）若经过三点，N是线段上的动点，求的取值范围． （3）点P是二次函数图像上位于第一象限内的一点，过点P作，交直线于点Q，若，求点P的坐标． 10．如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等． （1）求实数的值； （2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，以点为顶点的抛物线解析式为． （1）求一次函数的解析式； （2）如图2，将抛物线的顶点沿线段平移，此时抛物线顶点记为，与轴交点记为，当点的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似，若存在