2023年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题

2023年全国高中数学联赛（吉林赛区)预赛 暨2023年吉林省高中数学联赛试题 (2023年5月21日星期日上午8：30一11：00) 题号 二 三(13) 三(14) 三(15) 三(16) 总分 得分 评卷人 复核人 考生注意：本试卷共计4页，16道题，满分120分 得分 —、 选择题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） 本题共有6个小题，每小题均给出()、(B)、(C)、(D)四个结论，其中有且仅有一个 是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得5分：不选、选错或多 选一律得0分. 1. 己知等腰梯形ABCD中，AD/BC,BC=2AD=4,∠ABC=60°， 正=，则 CA.BE=( 如 (A)- 2 (B)-10 (C)-19 (D)-9 2.边长为a的正方形ABCD和正方形ABEF所在的两个半平面所成的二面角为120°，M,N分 别是对角线AC和BF上的动点，且AM=FN,则MN的取值范围是( ) (A 9w -a,a] 3.下列关于方程V4x2+2x+1-√4x2+14x+5=6x+2的根的论断中，正确的是( (A)方程没有负实数根 (B)方程没有有理根 (C)方程有两个实数根 (D)方程只有一个实数根 已知数列a1满足a-白且a兴=a=2则（ 4. ) 7-a1 (A)不存在meN,使得当n≥m时，a,<2: (B)不存在meN,使得当n>m时，&>-青 (C)存在meN,使得当n>m时，a.>a十au:(D)存在meN,使得当n>m时，a<+a 邱 2 2 么)2 2023年全国高中数学联婆（吉林姿区）预婆试题第1页（共4页） 5.已知函数fx)=x2-x+V2x-6x2+8x+16,则f(x)的最小值为( (A)4 B)号 (C)3 (D) 5-2 6.已知函数f(x)=2sinx-sin2x+√5，则下列说法错误的是( (A)在[-π，π]内有两个零点： (B)fx)的图象关于点（π，√）成对称中心 (C)f)的最小值为-5： 0)f的最大值为55 得分 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分） 请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果 7.已知如下的两组数据： 第一组：20,21,22,25,24,23 第二组：22,24,23,25，a,26 若两组数据的方差相等，则实数a的值为 8.已知集合M=(x|x2-9>0),N=(x∈Z引x2-8x+a<0.若集合M∩N的子集个数为4， 则实数a的取值范围是 9.已知△ABC为锐角三角形，b=2c,且sinB-sin(A+B)=2 sinCcosA. 则(cosB+sinB)+sin2C的取值范围是」 10.前100个正整数中，能写成两个正整数平方差的数的总和为 11.若在1,2,3.…，18的任意一个排列中，总能找到连续6个数之和不小于m,则实数m的最 大值为 12.若不等式ab+b+c2≥(a+b)c对任意满足b+c≥a的正实数a,b,c均成立，则实数1的最大 值为 2023全国高中数学联婆（吉林赛区）预赛试题第2页（共4页） 得分 三、解答题 (本题共4道大题，每题15分，满分60分) 13.已知函数f(x)=e+Ax2-1.若x≥1，有f()≥A成立，求实数A的取值范围. 14.已知椭圆M: x2,y2 京+存=1(a>b>0)经过点P(-20),且其焦距为2N5. (I)求椭圆M的方程： (Ⅱ)过点Q(-2,-)作直线I与椭圆M的下半部分相交于两个不同点AB,连接PA,PB分别交 直线y=-1于C,D两点，求证：IQC1+1QD1-2CD1为定值. 2023年全国高中数学联姿（吉林赛区）预赛试题第3页（共4页） 15.已知四边形ABCD内接于圆O,圆O在A、C处的两条切线相交于点P. 若点P不在BD的延长线上，且PA?=PD-PB,求证：对角线BD平分对角线AC 16.设n为给定的正整数，Snc{aa=(m,P2,p.)n∈0，，k=l,2,n小.对于集合 S中的任意元素B=(,,x)和y=(%,2,y),满足： ①若B=y,则∑xy为奇数： ②若B≠Y,则∑xy为偶数. (I)当n=5时，求集合S,中元素个数的最大值： (IⅡ)当n≥6时，求集合S.中元素个数的最大值 2023年全国高中数学联要（吉林赛区）预喪试题第4页（共4页） 2023年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛 试题参考答案 一、选择题 1.已知等腰梯形A8CD中，AD11BC,BC=2AD=4,∠ABC=60°，CE=1CD,则CA,BE= ω受 (B)-10 号 (D)-9 【解析】以B为坐标原点，为BC为x轴的正半轴建系，则 Bl6,o以c4,oa.V5.E5 333 ∴cA=(-35,8E=,y .cA.BE=(3x1x 2=-