2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛试题

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛 广西赛区选拔赛试题 (考试时间：2023年5月21日9：00-11：30) 一、填空题（本大题共8小题，每小题10分，共80分.） 1.设f(x)=- +x'f)=f国，5闭-f(x,倒=fU(),则f田=▲ x≤号的反函数为y=arcsinx,则当一元≤x≤π时 2 3.设f(x)在区间(-1,1)内有定义，则f(x)能表示成一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，其中 g(x)=▲，h(x)=▲· 4.设A={(a,B,y)川a+Bsinx+yc0sx=0,x∈(-o,+oo)},则集合A的元素的个数m=▲_ 5.椭圆x2+2y2=3围绕y轴旋转一周得到旋转曲面∑.设P(x,y,z)是∑上的一点，则x2+2y2 +z2=▲ 6.在[0,1】上存在函数f(x)满足下列两个条件：(1)f(x)有反函数；(2)f(x)在0,1]的任意的子区 [a,b]上都不是单调的.例如，f(x)=▲一 7.设f(x)=x-[x]-tanx,其中[x)为不超过x的最大整数，则{Tf(x+T)=f(x),T≠0}=▲ 8.设，m为正整数.对任意充分小的正数a,若n>m是上<a的一个充分必要条件，则m和a的关系 是m=▲ 二、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 1.（本小题满分15分)设S。是以定点P。为球心半径为r的球面，π，是一个固定平面，P到π。的距离 a>r·设SM是以点M为球心的球面，它与S。外切并与π。相切.令A为满足上述条件的球心M构成的 集合.设平面π与π。平行且在π上有A中的点.设d2是平面π与π。之间的距离，求d2的最小值m, 2.(本小题满分15分)设函数f(x)在区间I上有定义.若f(cx+(1-a)x2)≤af(x)+(I-a)f(x2) 第1页 对任意的实数x,2∈I和任意的a∈(0,1)恒成立，则称函数f(x)为区间I上的一个凸函数.例如， f(x)=e*是(-o,+∞)上的一个凸函数. 设P>19>1占+=1、4>0.儿>01sk≤h.0>0.6>0.利用上达相关知识证明： p g (1)(Young不等)式aP+上b≥ab: D 9 (2(Holder不等式) 3.(本小题满分20分)设0≤a≤9，a=0.@a4"0,…(即a=0+0+0+++…D 10m 其中aa2a:…a。…中有无限多项不为0，则称a为一个十进刺无限小数.设a为一个十进制无限小数。若 存在自然数n,k使得a1=an,对任意的自然数i均成立，则称a为一个循环小数：否则.称a为一 个不循环小数.例如0.19898…98…和0.8=0.799…9…是循环小数T=0.314159…是一个不循 10 环小数.已知(0]的每一个数均与·一个十进制无限小数一对应。 (1)求证：若(a,b)c(0,1),则存在循环小数c∈(a,b).即：循环小数在(0,1)中稠密. (2)求证：(0，]中所有的数不能排列成一个数列a1,a2,a,&,…,即：(0，]是一个不可效集. (3)用分数表示循环小数a=0.365365…365…. 4.(本小题满分20分)设{和}为一个数列，记a,+a2++a,+…为∑a。,S。=∑a·若对任 意的正数M均存在相应的自然数N,当n>N时S,>M,则称∑a=+0,若∫：乙.→乙，是正整数 集乙上的一个-一对应，则称)，(2)，fn),…是乙，的-个重排.称∑b,(其中b,=aa） 是∑a,的一个重排.求证： 1 =+00； 因存在父》的-个国排父，∑b=0. 第2页