2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题

2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题 (考试时间：2023年5月21日上午9：30--12：00) 一、 填空题（每小题7分，共56分） 1、用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案， 且制作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为 2、已知点A1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E10,2),F(8,6),若直线1与△4BC内（包括边界）点的最短距 离等于直线1与△DEF内（包括边界）点的最短距离，则直线I的方程为 3、函数f(x)=(x+)ln(x+)的单调递增区间是 4、己知关于x的方程|(x-1)(x-3)=mx有四个不同的实根，则m的取值范围是 5、边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为 6、若锐角4，B,C满足sin2A+sin2B+sim2C=2,则.，1 1 1 "sin2 AcosB'sin2 BcosC sin?Ccos4 ,的最小 值是 7、设4B为双曲线即：三是=1与实轴的交点。P0,)为双曲钱外一点，PAPB分别交双面线于另 一点C,D,过C,D的切线相交于Q,若△QCD是一个正三角形，且面积为6 则双曲线W的方程 是 8、有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌 或者北京，从8块不同的积木中按顺序任取n块积木（2≤n≤8)，D,表示后一次与前一次取出的积木 在形状，颜色，城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则mXDn= 2Sn≤8 二、解答题（共64分） 9、(14分)设a≥c,b≥c,c>0.证明：Vc(a-c)+Vcb-c)≤Vab,并确定等号成立的条件. 10、(15分)设正数列a,满是a,a,-a)=方云a,且a=1.1)求数列a,的通项公式 2）证明：对任意互不相同的正整数A,4“,6都有a,5瓜+++…+区 2 3 11、(15分)过平行四边形ABCD的顶点作一圆交直线AC于E点，证明：AB2+AD=AC·AE. 12、(20分)如果直角三角形的三边是两两互素的正整数，则称这种直角三角形为本原直角三角形 (1)求本原直角三角形中面积恰好等于周长n倍的本原直角三角形的个数，并记为a: (2)求max(an),并列出所有面积恰好等于周长的2023倍的本原直角三角形. 15m2023 2023年全国高中数学联赛江西省预赛试题参考答案 (考试时间：2023年5月21日上午9：30--12：00) 一、 填空题（每小题7分，共56分） 1、用12种不同的动物图案制作成一些动物卡片，使得每张卡片上都有其中的4种不同的动物图案， 且刺作过程中要求任取的两张卡片有且仅有一种动物是相同的，则最多能制作的卡片数量为 解：将12种不同的动物图案编号为1,2，，12，如果考虑相同的一种动物是1号，最多有3种， 如(1,2,3,4)，(1,5,6,7)，(1,8,9,10)：相同的一种动物为2号时，最多有2种，如(2,5,8,11)，(2,6,9,12)：相 同的一种动物为3号时，最多有2种，如(3,5,10,12)，(3,7,9,11)：相同的一种动物为4号时，最多有2 种，如(4,6,10,11)，(4,7,8,12)，所以最多能制作的卡片数量为9. 2、已知点A(1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E(10,2),F(8,6),若直线1与4ABC内（包括边界）点的最短距 离等于直线I与△DEF内（包括边界）点的最短距离，则直线的方程为 解：4ABC内（包括边界）的点与ADEF内（包括边界）点的最短距离为B到DF的中点H(停，) 的距离，故直线即为线段BH的中垂线，所以直线的方程为：y-只=-c-孕。 即x-5y-25=0,也即y=x-5. 3、函数f(x)=(x+1)n(x+1)的单调递增区间是 解：f'()=1+n(x+1)>0,x>-1,所以函数f)=(c+1)n(x+1)的单调递增区间是 g-1,+m). 4、已知关于x的方程I(x-1)(x-3)川=mx有四个不同的实根，则m的取值范围是 解：由y=mx与y=-(x-1)(x-3)在区间(1,3)内相切，可得m=4±2V3,再由切点横坐标必 须在区间(1,3)内，所以m=4+2V3不合条件，故m的取值范围是0<m<4-2V5 5、边长为1正六面体被一个平面所截的最大截面面积为 解：由边长为1正六面体被一个平面所截的面积最大的平面是边长为2的正六边形，故最大面积为 6.5.5=35 224 6、若锐角AB,C满是sn2A+sn2B+stn2C=2,则norB+nco+的最小值 1 是 1/5 解：由 1 1 sin AcosB sin?B cosCsin-CcosA 1 1