2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛浙江赛区初赛试题

2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题 本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150 分。 一、填空题（每小题8分，共计96分） 1.已知集合S={xeRx2+2x+a=0;,若-1∈S,则实数a= 2.函数fg=sinx+1 Xcos.x+-在(0，)上的最小值为 sinx cosx 3.已知四面体S-ABC,点A为三角形SBC的重心，G在线段A4上， AG=3, GA 连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则AM 4.已知关于x的方程x2+V12-3x2+x2+2x-V12-3x2 =a存在四个不同的实根， 则实数a的取值范围为 5.设函数f(zz为复数)满足ff(z)=(zz-z-)。若f(1)=0,则f()-1=。 6.已知mn,k为正整数，若存在正整数对(a,b)满足 (1+a)n2-4m+a)n+4m2+4a+bk-1)2<3, 则m+n+k可能值的个数为 7.已知a,b,c∈C,且a+b+c=a2+b2+c2=3,a3+b+c3=6.则 (a-1)m3+(b-1)m+(c-1)3= 8已知数列a1满足a写92-2n+2m1=2,则2a, a 9.设ā，6为两个垂直的平面向量，且回=2=10。当0≤1s1时，记向量ta+(1-t)b 与向量t-a+(1-t)b最大夹角为0，则cos0= 10.设a,a2,a,a,a是数字1,2,3,4,5的排列。若不存在1≤i<j<k≤5成立 a,<a,<a,则所有这样的排列数有 种。 11.设n个正数a,42,…,an满足4+a+…+an=2023,M为 a 2023+a,'2023+a,+a2 2023+4+4,++a 中的最大值，则M的最小可能值为 12.设不全相等的三个复数，，3满足方程4+5z+52=421+62,3+4红3 记复平面上以z1,乙，乙为顶点的三角形三边的长从小到大依次为a,b,c,则a:b:c= 二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分) y 13.已知椭圆二+。=1a>b>0)的上顶点A与左项点B的距离为√，离心率为 ,Pu0X4s1s-)为x轴上一点 (I)求椭圆方程： (Ⅱ)连接AP交椭圆于点G过C点作x轴的垂线，交椭圆另一个点D,求Sm的 取值范围。 14.设整数n≥2，对于{1,2，…，n}任一排列g=(o(I),o(2),…,σ(n),记 S={oo()≠i,i=1n2,…,n}, 求mm∑o)-的值，并计算取到最小值时排列。的数目。 15.设f(x)为整系数多项式，令P={plp为素数且对某个j∈N,p1f(2023)月。 已知P为有限集，求f(x) 2023年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题 本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分 150分。 一、填空题（每小题8分，共计96分） 1.已知集合S={x∈Rr2+2x+a=0),若-1∈S,则实数a= 答案：1. 解将-1代入方程x2+2x+a=0,得a=1 2.函数=sinx+1 Xcos.x+D在(0，受上的最小值为 sin xcosx 答案：3+2√2」 解令1=simx+cosx,则s1s5,则W)=1+2≥3+25. t-1 3.已知四面体S-ABC,点A为三角形SBC的重心，G在线段A4上， AG =3 GA 连接SG交三角形ABC所在的平面于M,则H 答案： 3 解由于S、本G、从、A共面，知M为三角形ABC的重心，由批得- 4.已知关于x的方程x2+V12-3x+x2+2x-V12-3x=a存在四个不同的实根， 则实数a的取值范围为 答案：(4,8) 解将原方程变形程为2+2x+V2-3x++2x-V2-3x=2x+a ee+2x+2-3++2x-2-3=x+号 台mx+2x2-3}=x+号 考虑函数y,=max{x2+2x,V2-3x2}与y2=x+8的交点个数 可知y,=x+号=x+4与=x+2时达到极值，所以2<号<4即4<a<8 5.设函数fe:为复数)满足ffe》=(三-：-}。若f0)=0,则/0-1= 答案：1. 解ff①)=1，于是f(ff))=f(I)=0,另一方面 ff(f)F(f(i)f0-fi)-fi)',所以 fi)f0-fi)-f0)=0,即i)-1)i)-1)=1,即/i)-1=1 6.已知m,n,k为正整数，若存在正整数对(a.b)满足 (1+a)n2-4(m+a)n+4m2+4a+bk-1)2<3, 则m+n+k可能值的个数为 答案：4 解配方得(2m-n)2+a(n-2)2+b(k-1)2<3.得到以下情况： 2m-n=0,n-2=0,k-1=0→(mn,k)=(1,2,1) 2m-n=±1，n-2=0,k-1=0,无整数解