2023年中考数学二轮专题复习-旋转综合题（几何变换）

2023年中考数学二轮专题复习-旋转综合题（几何变换） 1．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB=CD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC=∠B=90°， ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线． 根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 2．已知抛物线，它的图象记为，当时，. （1）求证：不论m为何值，抛物线都过一点P，并求出点P的坐标； （2）求出的顶点坐标（用含m的代数式来表示）；当m的取值不同时，抛物线的顶点在抛物线上运动，求抛物线的解析式； （3）当抛物线的顶点为抛物线与y轴的交点时，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，与交于两点，求，的顶点及两交点所形成的四边形的面积. 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D． (1)求证：BE＝CF； (2)当α＝90°时，求四边形AEDC的面积． 4．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′． ①写出点M′的坐标； ②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）． 5．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE． ①求证：∠AED＝∠CED； ②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）； （2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明． 6．在△ABC中，，点D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE，使．论证：如图1，当时，连接CE、BE，其中BE交AC于点F．探索：如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．设． (1)求证：； (2)若BE平分，求证：； (3)用含x的代数式表示CD的长； (4)如图3，若，，连接DE，DG，CE．当时，请直接写出DE的长． 7．如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）求证：； （2）①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； （3）当的最小值为时，求正方形的边长． 8．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值． 9．(1)如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． ①求证：AD＝BE； ②求∠AFB的度数． (2)如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，直线AD和直线BE交于点F． ①求证：AD＝BE； ②若AB＝BC＝3，DE＝EC＝．将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，在图3中画出图形，并求BF的长度． 10．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮