2023年中考数学复习压轴题专题　抛物线之取值范围

中考数学抛物线压轴题之取值范围 1．已知抛物线y＝x2+kx+k﹣1． （1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标； （2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标； （3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． （4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围 2．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数． （1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由； （2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系； （3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围． 3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点（如图1），顶点为M． （1）a、b的值； （2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积； （3）设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围． 4．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C． （1）抛物线的顶点坐标为　 　，点C坐标为　 　；（用含m的代数式表示） （2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0． ①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标； ②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围； （3）若点A（﹣3，2）、B（2，2），连结AB，当抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 5．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C． （1）求抛物线的表达式； （2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标； （3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围． 6．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3． （1）求抛物线的解析式； （2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值； （3）点D为抛物线对称轴上一点， ①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标； ②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心 （x，x）都在直线y＝x上，所以称这两个函数为关于直线y＝x的“相依函数”． 例如：y＝x和y＝x为关于直线y＝x的“相依函数” （1）已知点M（1，m）是直线y＝2x+4上一点，请求出点M（1，m）关于点（1，1）成中心对称的点N的坐标； （2）若直线y＝3x+n和它关于直线y＝x的“相依函数”的图象与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值； （3）若二次函数y＝ax2+bx+c和y＝x2+d为关于直线y＝x的“相依函数”． ①请求出a、b的值； ②已知点P（﹣3，2）、点Q（2，2），连接PQ，直接写出y＝ax2+bx+c和y＝x2+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时对应的d的取值范围． 1．【解答】（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1， ∴当k＝6时，y＝x2+3x+3， 令y＝0，得x2+3x+2＝0， 解得x8＝﹣1，x2＝﹣3， ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），5）． （2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1， ∴当y＝2时，x2+kx+k﹣1＝6， 解得x1＝﹣1，x3＝1﹣k， ∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定