2023年中考数学复习训练——四边形综合题

2023中考复习训练——四边形综合题 如图，在正方形 中，边长为 ，，将 绕点 旋转，其中 边分别与射线 、直线 交于 ， 两点， 边与射线 交于点 ；连接 ，且 与直线 交于点 ． (1) 如图 ，点 在线段 上时， ①求证：； ②求证： 垂直平分 ； (2) 当 时，求 的长． 如图，现有边长为 的正方形纸片 ，点 为 边上的一点（不与点 、点 重合），将正方形纸片折叠，使点 落在 处，点 落在 处， 交 于 ，折痕为 ，连接 ，． (1) 求证：； (2) 求证：； (3) 当 时，求 的长． 在菱形 中，，点 是线段 上一动点，以 为边向右侧作等边三角形 ，点 的位置随着点 的位置变化而变化． (1) 如图 ，当点 在菱形 内部或边上时，连接 ， 与 的数量关系是 ， 与 的位置关系是 ． (2) 当点 在菱形 外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图 ，图 中的一种情况予以证明或说明理由）． (3) 如图 ，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，若 ，，求四边形 的面积． 在矩形 和 中，，． (1) 如图1，当点 在对角线 上，点 在 边上时，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，则 与 的数量关系是 ， ； (2) 如图2，将图1 中的 绕点 旋转，使点 在 的延长线上，（1）中的其他条件不变． ①（1）中 与 的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论； ② 求 的度数． 已知正方形 中，点 ， 分别为边 ， 上的点，连接 ， 相交于点 ，． (1) 如图 ，求证：； (2) 如图 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，，，求证： 为等腰直角三角形； (3) 如图 ，在（）的条件下，将 和 分别沿 ， 翻折到 和 的位置，连接 ，，，若 ，，求 的长． 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，延长 到 ，使 ，连接 ，． (1) 求证：； (2) 过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，若 ， ①试判断 的形状，并加以证明； ②设 ，求 的长（用含 的式子表示）． 如图， 是 延长线上一点，分别以 ， 为一边在直线 同侧作正方形 和正方形 ，连接 ，． (1) 试探究线段 与 的大小，并证明你的结论． (2) 若 恰平分 ，且 ，试求 的长． (3) 将正方形 绕点 逆时针旋转一个锐角后，如图，问（）中结论是否仍然成立，说明理由． 回答下列各题． (1) 【感知】如图①， 是菱形 的对角线，，， 分别是边 ， 上的中点，连接 ，，．若 ，则 的长为 ． (2) 【探究】如图②，在菱形 中，， 是边 上的点，连接 ，作 ，边 交边 于点 ，连接 ．若 ，求 的长． (3) 【应用】在菱形 中，， 是边 延长线上的点，连接 ，作 ，边 交边 延长线于点 ，连接 ．若 ， 时，借助图③直接写出 的周长． 小敏思考解决如下问题： 原题：如图 ，点 ， 分别在菱形 的边 ， 上，．求证：． (1) 小敏进行探索，若将点 ， 的位置特殊化，把 绕点 旋转得到 ，使 ，点 ， 分别在边 ， 上，如图 ，此时她证明了 ．请你证明． (2) 受以上（）的启发，在原题中，添加辅助线，如图 ，作 ，，垂足分别为 ，，请你继续完成原题的证明． (3) 如果在原题中添加条件：，，如图 ，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案． 已知在矩形 中， 是边 上的一动点，连接 ，，过点 作射线交线段 的延长线于点 ，交边 于点 ，且使得 ，如果 ，，，． (1) 求 与 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2) 当 时，求 的正切值； (3) 如果 是以 为底角的等腰三角形，求 的长． 在平行四边形 中， 的平分线交直线 于点 ，交直线 于点 ． (1) 在图 中证明 ． (2) 若 ， 是 的中点（如图 ），直接写出 的度数． (3) 若 ，，，分别连接 ，（如图 ），求 的度数． 正方形 ，， 分别在边 ， 上（不与端点重合），， 与 交于点 ． (1) 如图 ，若 平分 ，直接写出线段 ，， 之间等量关系． (2) 如图 ，若 不平分 ，（）中线段 ，， 之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由． (3) 如图 ，矩形 ，，．点 ， 分别在边 ， 上，，，求 的长度． 如图 ，在正方形 中，，点 从点 出发，沿 向点 匀速运动，速度是 ，同时