2023年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰直角三角形等线段旋转

中考数学抛物线压轴题之等腰三角形 1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),且OB=OC.直线y=x+1与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点,设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m. (1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标. (2)连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系. (3)连接PA、PD,当m为何值时S△APD=S△DAB? (4)在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=1,与x轴交于点H. (1)求抛物线的函数表达式; (2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E,与抛物线交于点P,Q(点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若△CPQ的面积为,求点P,Q的坐标; (3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G顺时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由. 3.【模型建立】 如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E. 求证:△BEC≌△CDA; 【模型应用】 ①已知直线l1:y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式; ②如图3,在平面直角坐标系中,点B(8,6),作BA⊥y轴于点A,作BC⊥x轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q是直线y=2x﹣6上的动点且在第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请直接写出此时点Q的坐标,若不能,请说明理由. 4.已知,一次函数y=﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,与直线y=x相交于点C.过点B作x轴的平行线l.点P是直线l上的一个动点. (1)求点A,点B的坐标. (2)若S△AOC=S△BCP,求点P的坐标. (3)若点E是直线y=x上的一个动点,当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时,求点E的坐标. 5.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点D(0,3). (1)求抛物线的表达式以及点B的坐标; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得DP+CP最小,如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点.过点Q作x轴的垂线,交线段BD于点E,再过点Q作QF∥x轴交抛物线于点F,连结EF,请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 6.如图①,抛物线y=x2﹣﹣3交轴于A、B两点,交y轴于点C,点D为点C关于抛物线对称轴的对称点. (1)若点P是抛物线上位于直线AD下方的一个动点,在y轴上有一动点E,x轴上有一动点F,当△PAD的面积最大时,一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F,再沿线段FB以每秒2个单位的速度运动到B点后停止,当点F的坐标是多少时,动点G的运动过程中所用的时间最少? (2)如图②,在(1)问的条件下,将抛物线沿直线PB进行平移,点P、B平移后的对应点分别记为点P'、B',请问在y轴上是否存在一动点Q,使得△P'QB'为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由. 7.x、y是一个函数的两个变量,若当a≤x≤b时,有a≤y≤b(a<b),则称此函数为a≤x≤b上的闭函数.如y=﹣x+3,当x=1时y=2;当x=2时y=1,即当1≤x≤2时,1≤y≤2,所以y=﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数. (1)请说明是1≤x≤30上的闭函数; (2)已知二次函数y=x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数,求k和t的值; (3)在(2)的情况下,设A为抛物线顶点,B为直线x=t上一点,C为抛物线与y轴的交点,若△ABC为等腰直角三角形,请直接写出它的腰长为 . 8.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点D(0,3). (1)求抛物线的表达式以及点B的坐标; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得DP+CP最小,如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点.过点Q作x轴的垂线,交线段BD于点E,再过点Q作QF∥x轴交抛物线于点F,连结EF,请问是否存在点Q使△QE