上海市青浦高级中学2023届高三下学期5月质量检测数学试题

上海市青浦高级中学2022学年第二学期5月质量检测 高三 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知集合，，则 . 2．已知、是关于x的方程的两个根，则________. 3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为________. 4．根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为________. 5．在中，内角的对边分别是，若，则___________. 6．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为________. 7．无穷等比数列的前n项和为，若其首项为，且，，则的取值范围是______________. 8．设，求方程的解集 . 9．若实数，且，则______. 10．在矩形ABCD中，AB = 1，AD = 2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为______. 11．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________ 12．如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为____________. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上严格增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 15．下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，且，则 C．一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D．若，，，则事件A与事件B相互独立 16．在数列中，对任意正整数n都有，且，给出下列四个结论： ①对于任意的，都有； ②对于任意，数列不可能为常数列； ③若，则数列为严格增数列； ④若，则当时，. 其中所有正确结论的序号为（ ） A．②④ B．③④ C．①②③ D．②③④ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一点，. （1）求证：平面平面PAC： （2）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值. 18. 本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分. 某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A     B     C     D     E     评分 9.6   9.5   9.6   8.9   9.7   （1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； （2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E [X]与E [Y]的值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系． 19. 本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些计划．如图，是边长为米的正方形菜园，扇形区域计划种植花生，矩形区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．分别在上，在弧上，米，设矩形的面积为S（单位：平方米）． （1）若，请写出S（单位：平方米）关于的函数关系式； （2）求S的最小值． 20. 本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）