2023年九年级中考数学二轮复习求线段最值--以将军饮马为例

求线段最值 --以将军饮马为例 一、模型1 “两点一线型” 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+ PB的最小。 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。 PA+PB的最小值为AB′。 模型实例 例1.如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 。 例2.如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为______________。 例3． 如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，点E，F为AB边的三等分点，点G为AC上的一个动点，连接EG，FG，则EG＋FG的最小值为______________。 例4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点P是BC上一点，若AB＝4，BC＝5，则PD＋PE的最小值为__________． 二、模型2 “一点两线型” 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 △PCD周长最小为P′P"。 点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。 PC+CD的最小值为P′C。 模型实例 例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是_______． 例2． 点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是________． 三、模型3 “两点两线型” 模型 作法 结论 点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。 PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。 模型实例 例1.（2023年深圳龙华二模）如图，在边长为4米的正方形场地ABCD内，有一块以BC为直径的半圆形红外线接收“感应区”，边AB上的P处有一个红外线发射器，红外线从点P发射后，经AD、CD上某处的平面镜反射后到达“感应区”。若AP=1米，当红外线途经的路线最短时，AD上平面镜的反射点距离点A________米。 例2．如图，已知A(1，6)，B(4，2)，点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴正半轴上一点，连接AB，BN，MN，MA，则四边形ABNM周长的最小值为___________． 例3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为___________． 四、模型4 “两定点一定长型” 模型 作法 结论 如图，在直线上找M、N两 点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。 将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线的对称点A"，连接A"B交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。 AM+MN+NB最小为A"B 。 如图，∥，，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。 将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。 AM+MN+NB的最小值为A′B+。 模型实例 例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在轴正半轴上，点C在轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E的坐标。 例2．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E，F在对角线AC上，且EF＝，则DE＋EF＋BF的最小值为__________． 例3．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, AD＝2，∠BAD＝60°