江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷

2022-2023学年南京市中华中学高一下5月月考卷 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．已知复数（i是虚数单位），z的共轭复数记作，则＝（　　） A． B． C． D． 2．已知，则sin2α的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 3．已知，，均为单位向量，且，则＝（　　） A． B． C． D． 4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线的条数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 5．如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．求直线AB与平面β所成的角的正弦值． A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7 7．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB＝，M是母线PA的中点．则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（　　） A． B．﹣1 C． D．+1 8．在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+＝4cosC，则+＝（　　） A．1 B． C．4 D．2 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．下列关于复数z的四个命题，真命题的为（　　） A．若∈R，则z∈R B．若z2∈R，则z∈R C．若|z﹣i|＝1，则|z|的最大值为2 D．若z3﹣1＝0，则z＝1 10．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（　　） A．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰直角三角形 C．若bcosC+ccosB＝b，则△ABC是直角三角形 D．若，则△ABC是等边三角形 11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是棱CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（　　） A．存在点P，使DP∥面AB1D1 B．二面角P﹣BB1﹣D的平面角为60° C．PB+PD1的最小值是 D．P到平面AB1D1的距离最大值是 12．已知四边形ABCD是等腰梯形（如图1），AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点．下列结论中正确的是（　　） A．BC⊥AD B．点E到平面AMC的距离为 C．EM∥平面ACD D．四面体ABCE的外接球表面积为5π 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则△ABC的面积为　 　 14．已知△ABC中，三边为AB＝2，BC＝1，AC＝，则＝　 　． 15．已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为 　 　． 16．如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为　 　度． 四．解答题（共6小题，共70分） 17．已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R． （1）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围； （2）若z是纯虚数，求m的值． 18．等边三角形△ABC，边长为2，D为BC的中点，动点E在边AC上，E关于D的对称点为F． （1）若E为AC的中点，求． （2）求的取值范围． 19．从下列条件中选择一个条件补充到题目中： ①，其中S为△ABC的面积，②，③． 在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_____． （1）求角A； （2）若D为边AB的中点，，求b+c的最大值． 20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC． （Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD； （Ⅱ）求证：AG∥平面PEC； （Ⅲ）求直线AC与平面PCD所成角． 21．借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济．如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为．设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸