全国卷中的同构八大体系 专题-2023届高三数学二轮复习

全国卷中的同构八大体系 1.单调性同构. 2.指对“六朵金花”间的同构 3.同构型混合恒成立 4.同构型嵌套方程 5.圆的双切线 6.圆锥曲线的双切线 7.双割线同构 8.同构逆用 1.单调性同构. 这类题型的特点就是结构一致，多以双变量形式出现，且当把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，目前多以构造函数比较大小的形式出现，例如： （1），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. （2）：先去研究的单调性才行，去掉绝对值后成为 . （3）已知设，则，即证为减函数. 例1.若，则（ ） A. B. C. D. 解：设，则为增函数，因为 所以，所以，所以. ，当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B. 例2．（2020全国2卷）若，则（ ） A． B． C． D． 解析：由得：，令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，，，则A正确，B错误；故CD无法确定.故选：A. 例3.若对任意的，，，恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，则可化为， 整理得，因为，所以，令，则函数在上递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立， 则在上递减，所以，故只需满足：. 故选：A. 2.指对“六朵金花”间的同构 常见的同构型： （1） ； （2） （3）； （4）； （5）. 例4．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 解析：，，由于，则，同理可知，，函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，，则，，则，构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减. 所以，. 故选：C. 例5．已知函数，，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 解析：由题意得，，，即， 令函数，则， 所以，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 又当时，，时，，作函数的图象. 由图可知，当时，有唯一解，故，且， ∴.设，，则， 令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即的最大值为. 故选：D. 例6（2022全国新高考1卷）已知函数和有相同的最小值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 解析：（1）以. （2）证明：由（1），， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为. 再次，证明存在使得：因为，所以，若，则，即， 所以只需证明在上有解即可，即在上有零点，因为，， 所以在上存在零点，取一零点为，令即可， 此时取则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列： 因为， 所以，又因为在上单调递减，，即，所以同理，因为， 又因为在上单调递增，即，，所以， 又因为，所以， 即直线，与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 体系3.同构型混合恒成立 1.直接变形： （1）积型：（同左）； （同右）； （取对数）. 说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知. （2）商型：（同左）； （同右）； （取对数）. （3）和差型：（同左）； （同右）. 2.先凑再变形： 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有： ①； ②； ③ ④ ⑤ 例7.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. （1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以， ，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意； （ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是. 体系4.同构型嵌套方程 对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例8.（2023届