精品解析：安徽省芜湖市第一中学2020年高中自主招生考试数学试题

芜湖一中2020年高一自主招生考试数学试卷 一､选择题（本大题共七小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中） 1. 满足的整数对共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ，OP，则阴影部分的面积，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 先，再，最后 4. 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（ ）. A. B. C. D. 100 5. 对于实数，符号表示不超过最大整数，如.若有正整数解，则正实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 已知非零实数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三角形中，为边上的一点，连接为上一点，且，交于点，当为中点时，的值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共七小题，每小题7分，共49分） 8. 关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是__________. 9. 在分别标有号码的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率为__________. 10. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于点，若点坐标为，则称点为点的“朋友点”.例如，点的“朋友点”为点.已知点的坐标为，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，点的“朋友点”为点，则点的坐标是__________. 11. 因式分解：__________. 12. 已知二次函数的图象与轴交于不同的两点为二次函数的图象的顶点，，若是边长为3的等边三角形，则__________. 13. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命､健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间具有关系.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________药物单位.（提示：标准差为方差的算术平方根.） 14. 如图1，是一张长方形纸片，现折叠该矩形，如图两点恰好重合落在边上的点处，若，则图2中梯形的面积是__________. 三､解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 15. （1）已知，求函数值. （2）解方程 16. 设为素数，记，试问当时，能否作为三角形的三边长？证明你的结论. 17. 如图，已知点的坐标为，直线与轴､轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过三点. （1）请直接写出两点的坐标，抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）设抛物线的对称轴交线段于点是第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）是第一象限内抛物线上一点，连接，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值. （4）在第（3）题的条件下，点是过点垂直于轴的直线上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，求的最小值. 18. 如图，是锐角的外接圆，、分别为中线与角平分线，过、两点的圆的切线交于点，连接，分别与和相交于 、两点. （1）若半径，，求长； （2）求证：、、、四点共圆； （3）求证：为平分线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2020年高一自主招生考试数学试卷 一､选择题（本大题共七小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中） 1. 满足的整数对共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】按照，分类讨论，去掉绝对值进行求解. 【详解】若，则方程变为，由，故，又，则只有，经检验，符合题意； 若，则方程变为，该方程看成关于的二次方程，于是，由，故, 当，方程变，没有整数解； 当，方程变为，没有整数解； 当，方程变为，没有整数解； 当，方程变为，没有整数解. 综上时没有整数解. 若时显然不是解； 若，原方程变为，此时