2023年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之图形分析

中考数学抛物线压轴题之全等 1.如图1,二次函数y=﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)求点D的坐标; (2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点,在线段AO上取一点F,过点F作FH⊥CD,交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧),当五边形FCEHB的面积最大时,求点H的横坐标; (3)如图3,在直线BC上取一点M(不与点B重合),在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 2.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(﹣3,0)和点B(3,2),与y轴相交于点C. (1)求这条抛物线的表达式; (2)点P是抛物线在第一象限内一点,联结AP,如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上,求直线AP的截距; (3)在(2)小题的条件下,如果点E是y轴正半轴上一点,点F是直线AP上一点.当△EAO与△EAF全等时,求点E的纵坐标. 3.已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣bx+c与直线y=mx+n相交于点A(0,3)且经过点B(m﹣b,﹣m2+mb+n),其中a,b,c,m,n为实数,且a≠0,m≠0. (1)求a的值; (2)当m=1,b=2时,若第二象限中的点P(x,y)是抛物线y=ax2﹣bx+c上的任意一点,设点P到直线y=mx+n的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最大值时点P的坐标; (3)将抛物线y=ax2﹣bx+c沿着它的对称轴x=﹣1向下平移1个单位长度,得到新抛物线,设新抛物线与y轴的交点为M,对称轴与x轴交于点N,动点R在对称轴上,问新抛物线上是否存在点Q,使以点N,Q,R为顶点的三角形与△MON全等?若存在,直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4.综合与探究: 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D. (1)如图1,分别求这个二次函数和直线AC的表达式; (2)如图2,连接AD,CD,求四边形AOCD的面积;如图3,若点P是第二象限内抛物线上的一点,且使△ACP的面积最大.请解答下面问题: ①求出点P的坐标; ②此时平面内是否存在另一点Q,使△ACQ和△ACP全等?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系xOy,已知二次函数y=﹣x2+bx的图象过点A(4,0),顶点为B,连接AB、BO. (1)求二次函数的表达式; (2)若C是BO的中点,点Q在线段AB上,设点B关于直线CQ的对称点为B',当△OCB'为等边三角形时,求BQ的长度; (3)若点D在线段BO上,OD=2DB,点E、F在△OAB的边上,且满足△DOF与△DEF全等,求点E的坐标. 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形 (1)求该抛物线的解析式; (2)求点P的坐标; (3)求证:CE=EF; (4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+2=(+1)2]. 7.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=kx+1(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2﹣(6a﹣2)x+b(a≠0)与直线AC交于另一点B,点B坐标为(4,3). (1)求a的值; (2)点P是射线CB上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q,在x轴上点Q的右侧取点M,使MQ=,在QP的延长线上取点N,连接PM,AN,已知tan∠NAQ﹣tan∠MPQ=,求线段PN的长; (3)在(2)的条件下,过点C作CD⊥AB,使点D在直线AB下方,且CD=AC,连接PD,NC,当以PN,PD,NC的长为三边长构成的三角形面积是时,在y轴左侧的抛物线上是否存在点E,连接NE,PE,使得△ENP与以PN,PD,NC的长为三边长的三角形全等?若存在,求出E点坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点C在x轴正半轴上),△ABC为等腰直角三角形,且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移,平移后的抛物线过点C时,与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x轴的