2023年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之任意角三角函数

中考数学抛物线压轴题之任意角三角函数 1．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标； （3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长． 2．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC＝20． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长； （3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP＝，求M点坐标． 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D． （1）求点D的坐标及直线AD的解析式； （2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P是y轴上的动点，当△CMN的面积最大时，求△MPN的周长取得最小值时点P的坐标； （3）如图2，线段AE在第一象限内交BD于点E，其中tan∠EAB＝，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形纪为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12． （1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式； （2）点D在y轴上，当以A、O、D为顶点的三角形与△BOC相似时，求点D的坐标； （3）点D的坐标为（﹣2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且tan∠ADP＝2，求点P的横坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）． （1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为　 　； （2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置； （3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF． ①若特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标； ②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是　 　． 6．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连BC交对称轴于G点，且BG＝2CG． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有两动点M、N（点M在点N的下方），且MN＝6，若四边形ACMN的周长最小，试求AN+CM的长． （3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使tan∠APC＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形． ①求点D的坐标； ②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交于点E，若tan∠DPE＝，求四边形BDEP的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7． （1）求此抛物线的解析式． （2）求点N的坐标． （3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标． （4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式． 9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A