2023年北京部分名校中考数学备考——几何综合　

2023北京部分名校中考数学备考——几何综合 参考答案与试题解析 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠B＝α＜30°，线段BC的垂直平分线分别交线段AB、BC于点D，E． （1）如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）通过证明△ACB∽△DEB，可得，即可求解； （2）①由题意画出图形即可； ②由角的数量关系可证AC＝AH，DF＝HF，即可求解． 【解答】解：（1）AC＝2DE，理由如下： ∵DE垂直平分BC， ∴CE＝BE＝BC，DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∴△ACB∽△DEB， ∴， ∴AC＝2DE； （2）①如图所示： ②AF＝3DE﹣EF，理由如下： 如图，连接DC交AF于H， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴∠DBC＝∠DCB＝α， ∴∠ACD＝∠CDE＝90°﹣α， ∵将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F， ∴∠CAF＝2α， ∴∠AHC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α＝∠ACD， ∴AC＝AH， ∵∠DHF＝∠CDF＝90°﹣α， ∴DF＝HF， ∵AC＝2DE， ∴AH＝2DE， ∴AF＝AH+HF＝2DE+DF＝3DE﹣EF． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，等边△ABC中，点D在边BC上，且BD＜CD，点E在边AB上，且AE＝BD，连接AD，CE交于点F． （1）求∠DFC的度数； （2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明； （3）若等边△ABC是的边长是2，直接写出线段BH的最小值． 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形得到AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°，结合AE＝BD即可得到△AEC≌△BDA，得到∠ACE＝∠BAD，根据三角形外角关系即可得到答案； （2）如图所示，延长FD到 M，使得FM＝FC，连接BM，CM，则△FMC是等边三角形，∠AFC＝120°，先证明△ACF≌△BCM，得到AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°，再证明△BHM≌△GHF，即可证明BH＝GH； （3）如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，由全等三鱼形的性质得到FH＝MH，即点H为MF的中点，则∠ACH＝90°，推出点H在以AC为直径的圆上运动，故当B、H、N三点共线时，BH有最小值，求出BN＝，则BH最小＝﹣1． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°， 在△AEC和△BDA中， ∴△AEC≌ABDA（SAS）， ∴∠ACE＝∠BAD， ∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°， ∴∠DFC＝∠CAD+∠ACE＝60°； （2）BH＝GH，证明如下： 如图所示，延长FD到M，使得FM＝FC，连接BM、CM， ∵FM＝FC，∠MFC＝60°， ∴△FMC是等边三角形，∠AFC＝180°﹣∠MFC＝120°， ∴CM＝CF，∠FCM＝∠FMC＝60°． ∵ABC是等边三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠BCM， ∴△ACF≌△BCM（SAS）， ∴AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°， ∴∠BMH＝∠BMC﹣∠CMH＝60°， ∴∠BMH＝∠GFH， ∵AF＝GF， ∴BM＝GF， 又∠BHM＝∠GHF， ∴△BHM≌△GHF（AAS）， ∴BH＝GH； （3）解：如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN， ∵△BHM≌△GHF， ∴FH＝MH，即点H为MF的中点， ∵△FMC 是等边三角形， ∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°， ∴点H在以AC为直径的圆上运动， ∴当B、H、N三点共线时，BH有最小值， ∴△ABC是等边三角形，N是AC的中点， ∴BN⊥AC，CN＝AC＝1， ∴BN＝＝， ∴BH最小＝﹣1． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定以及最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB边中点，点P为CE上一点．作线段DP的垂直平分线交线段EF于点M，连接AD，AM，MP． （1）依题意补全图形； （2）若∠MAD＝α， ①请用含α的式子表示∠AMP； ②判断△DMP的形状，并证明． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）①证明MA＝MP，用α表示出∠MAP，∠MPA即可； ②△DMP是